前言
随着疫情的不断发展，影响范围不断扩大，波及人数不断增加，此次由冠状病毒引发的病毒性肺炎（COVID-19）已在 2020 年 3 月 12 日被世界卫生组织（WHO）宣布为是一种大流行病。但到目前为止没有定量的严格标准判断某种疾病是否达到大流行水平。
数据如下：
科学计算数学建模-新型冠状病毒数据
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代码可参考如下地址：
新型冠状病毒校园传播模型：传染机制构建
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此外需要强调的一点是，大流行的特征所指的是疾病传播的广泛程度，而不是疾病的严重性。目前，在全球已有超过 200 个国家/地区报告了病毒感染病例。但由于各国的人口和经济情况差别较大，病毒检测能力和国家防疫政策都不尽相同，所以报告的病例是否就真实反映了病毒传播的情况?如何能够对于疫情情况给出更加有效的量化指标，这是世卫组织非常关心的问题。其次，在此次新冠病毒的感染者中“无症状感染者”是比较受到医学专家关注的群体。“无症状感染者”指无临床症状、但呼吸道等标本新冠病毒病原学检测呈阳性者。无症状感染者可分为两种情形：一是感染者核酸检测呈阳性， 经过 14 天潜伏期的观察，均无任何可自我感知或可临床识别的症状与体征，始终为无症状感染状态；二是感染者核酸检测呈阳性，采样时无任何可自我感知或可临床识别的症状与体征，但随后出现某种临床表现，即处于潜伏期的“无症状感染”状态。无症状感染者存在传染性，但传染期长短、强弱有待确定，不同专家对此有不同的看法。如何快速地、准确地、最小成本地识别和判断无症状感染者是世界各国十分关注的问题。
所要解决的问题
1.建立数学模型，综合考虑人口数、感染数量、病死人数、疫情持续时间、经济状况、医疗条件、人口密度、防疫政策等因素，给出一个合理的界定“流行”(Epidemic)和“大流行”(Pandemic)病的定量条件。
2.由于无症状感染者具有一定的传染性和隐蔽性，如果进行全民病毒检测需要花费大量的人力物力和时间，对后续的复工生产也有不利影响，总体来说效益不高，因此我们需要寻找一种更高效的方法来最大限度降低无症状感染者的传播风险，比如对一个地区进行抽样检测来评估该地区无症状感染者的分布情况，再进一步制定不同的隔离与检测方案。结合问题一的模型，针对一两个国家（或地区），给出符合实际且可以实施的病毒检测抽样方案，并给出无症状感染者分布预测模型和针对相应预测结果的应对方案。
问题分析
(一) 问题1的分析
问题一要求给出合理界定“流行”和“大流行”病的定量条件，并且给出了多种因素：人口数、感染数量、病死人数、疫情持续时间、经济状况、医疗条件、人口密度、防疫政策等对疫情发展情况影响。为了简化计算，我们将感染人数设置为主要因素，由于其中有几个因素的相关性较为明显，例如：经济状况和医疗条件相关性较为明显，故可视为同一影响因素。我们经过合理的合并，最终确定一下四个因素人口数、疫情持续时间、医疗条件、防疫政策，为次要影响因素，通过层次分析法模型求出权重，与感染人数相互作用。分别通过SPSS和模糊函数进行聚类分析，确定类别之后，再以这个类别为根据，确定判别函数。
(二) 问题2的分析
由于无症状感染者是无法自己感知具体病症的，只有经过血样检测可以查出来，所以我们要尽可能多的找出无症状感染者，以确定无症状感染者的分布情况，从而采取有效的措施以减少病毒的传播。虽然全民进行病毒检测是最保险最安全的方法，但是成本较高。为了降低成本，我们采取这样的检测方法：将 K 个人为一组进行分组，把同组的 K 个人血样混在一起检验，如混合呈阴性，则说明此 K个 人的血都呈阴性，如混合血样呈阳性，则再对此 K 个人的血样分别进行化验。选择合适的K 值就能减少检测的次数。我们以美国的一个地区：American California为 例。对于另一小题：无症状感染者的分布预测，首先我们采用 SEIR 模型，预测出 I（感染者）和E（潜伏者）的人数变化情况，然后可以利用已经给出的无症状感染者在感染者中所占的比例，再加上潜伏者的人数就是我们要求的无症状感染者的总人数。
模型假设
数学模型把新型冠状病毒肺炎传播过程分成两个阶段：
在第一阶段，由于群众对疾病具体情况不知情，对疫情的认知程度有限，导致对疾病传播缺乏有效的防备措施。 在此阶段下，研究人员根据新型冠状病毒肺炎传播特点，认为符合基本再生数为常数SIER 模型（易感-感染-潜伏-隔离）；
在第二阶段，由于政府和人们高度重视，和对疾病传播途径已有较为准确的认知，人群会逐渐采取有效且科学的防控措施，使得基本再生数不断下降，直到下降到小于1以下，并持续一段时间，达到对疾病的根除。
假设新型冠状病毒传播方式是且唯一是人传人；
假设感染人群平均分散在人群中；
假设每个人接触感染患者的概率和被感染率相同；
因没有相关疫苗，所以恢复率r保持不变；
假设感染期间，每天病死率相同；
不考虑人口出生和死亡率，以及城市人口迁移率；
不考虑气候对传播的影响。
模型结构
根据 5分室传播模型结构可知，新型冠状病毒的传播结构为:
冠状病毒传播流程图
其中，方框内为状态变量：
S=人群中易感染者人数（Susceptible）
E=人群中受感染处在潜伏期人数（Exposed）
I=人群中受感染发病，且有传染性人数（Infectious）
R=人群中感染后已恢复并获得免疫人数（Recovered）
D=人群中感染发病不治身亡人数（Died）
设总人口数P=S+E+I+R+D为常数，那么S=P-E-I-R-D;
箭头字母表示转移速率及其他参数：
h: 接种率或感染力，作为模型中关键的转移速率，表示人群中平均每人每天受到感染的概率，是疾病传播速度的重要理论指标之一。
h=abI
a：接触率。表示人群中平均每人每天与1个病人发生近距离接触的概率；通过改变a的值，可以模拟出不同程度的隔离措施。
b：感染效率。表示近距离接触并感染成功的概率。影响b值的因素有病毒的致病力，病人的排毒量，防护措施对病人的影响，通过改变b值，可模拟不同程度的防护措施。
abI：人群中平均每人每天与感染病人中的任意一个接触，并获得有效感染的概率。
其他速率：
i：转阳率。潜伏期天数倒数，即潜伏前者每天向发病者转移的概率；
r：恢复率。有传染性期限天数倒数，即病人每天得到恢复且免疫的概率；
k：病人日死亡率。发病者每天发生死亡的概率，k=病死率*恢复率。
方程组建立
根据上述模型结构，建立微方方程组和差方方程组，如图所示：
微方方程组
（2）中的第一项表示某一刻人群中易感染者S转变为E的人数。
差方方程组
根据差分方程组，可以计算出每日潜伏期感染者人数，每日疑似病例人数，每日新增病例数，累计病例数，每日死亡人数，累积死亡人数等动态变化。
参数设立
接触率a: 根据假设，a=1/P，即总人口的倒数。特殊地区如医院，病源地人员的接触率可以稍高，如1.1/P；
感染效率b：根据SARS期间北京有关专家认定，SARS感染率为0.6，在此模型中我们假设感染率为0.6；
潜伏期：2-12天，取中位数7作为潜伏期，即转阳率i=1/7;
恢复率r：根据其他冠状病毒恢复期来看，假设普遍10天恢复，取7天，r=1/7;
日死亡率k：我们假设武汉死亡率为3.5%，所以病人日死亡率为r*0.035.
传播能量C：1个病例1天内预期传染人数；
基本繁殖率BRR：未采取措施的为R0=b/r=3.5，aP=1, 采取措施的为R，指在一个易感染人群中，1个病例感染期内预期传染新病例个数。C的临界值为r，若低于临界值，则传播趋势终止。
EXCEL参数设立部分截图
模型拟合
以武汉最初的疫情数据进行建模分析，根据以上模型和参数，接下来我们对武汉市疫情的发展进行模拟预测。武汉的主城区总人口数P为1100万，疫情第一例报告发生在2019年12月上旬，12月下旬已经传播了27例肺炎病例。因此流行初始期为12月上旬，感染者初始值为1，其余状态变量初始值均为0，如图所示：
我们从12月1号开始按照每10天作为一旬统计当旬疫情。
EXCEL模拟病毒传播预测模型
*假设接触率a和感染率b在一个月后下降40%，R=1.26，但在第48天开始仅下降20%，R=2.24，在第78天开始大幅度下降95%（疫情被控制），R=0.01，在第87天开始下降65%，R=0.43，在第109天同时下降40%，R=1.26。
**每旬为10天
假设新型冠状病毒传染性比SARS强，b为0.7，而大家接触率都自觉降低以后，a值可以降低到0.9/总人口数，预测数据如下图所示：
假设疫情传染强度增强10%，而大家依然保持原有的无防护接触率（a=1/P,b=0.7），武汉市感染人数峰值将在3月中旬达到峰值4万左右人次。
预测模型检验
小结
根据以上图表可以看出，我们训练的前期病毒传播速度的趋势与实际趋势符合，12月份到1月上旬确诊人数远小于预测人数，但随后1月下旬疫情发展速度远高于预测速度。这可能是由于
1）节前人口流动性大，带来接触率提高，导致传播速度的提升；
2）在前期防护措施不当；
未来一个月的病发几率依旧呈现指数型增长趋势，特别是节后返工潮增加了传播的人数，预计在3月上旬湖北武汉市确诊人数将达到最高值1万左右，以后病毒传播速度会降低，5月月份以后趋于平稳。
当新型冠状病毒的感染率比预期高0.1时，尽管大家尽量降低接触率，但3月上旬确诊人数将达到16000左右。
当防护措施做的足够好的情况下，接触率和感染率会保持不变，a,b的值会相应减小，基本繁殖率会降低，传播速度降低的时间会早于预期，且趋于终止。
SIR模型
在传统传染病流行模型中，还有一类模型叫SIR模型，也可以叫3分室微分模型。模型考虑的因素以下列标记颜色的人群为主，易感染人群，已感染人群和恢复人群。
他的微分方程可以写成：
根据微分方程公式，我们用Python中的常用微分函数odeint，可以模拟出不同的传播强度对于感染人数的影响。
由上图可知，当病毒的感染率提高10%时，感染人数比例由原来的0.4上升到了0.5左右，所以感染率对感染人群数量的峰值有着很大的影响。
模型比较
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SIR模型相对于5分室模型来说过于简单，没有考虑潜伏期人群和死亡人群，不适合应用在当下严重的疫情情景中；
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两者模型的共同点在于，感染率和恢复率都是其重要参数，而参数的初始设置目前并不稳定，所以未来对于新型冠状病毒的感染率和恢复率参数具体化对于模型的预测效果有着重要的影响；
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两者都没有考虑外界影响因素，如政策，环境，地理位置以及疫苗研发速度等变化对于疫情的影响。