学习笔记：有向图强连通分量的tarjan算法

概念

强连通分量有向图强连通分量 ：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通 (strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图 。有向图的极大强连通子图 ，称为强连通分量。
摘自百度百科

我的理解就是在图的尽量大部分中，这部分中，从每个点出发，都可以回到该点，那么就是一个强连通分量。那么我们该如何找呢？

原理

找强连通的方法有两种算法Kosaraju算法和tarjan算法。
Kosaraju算法是对该图和它的逆图两次DFS的方法，时间复杂度O(N+M)，比tarjan算法更加直观。
tarjan算法只用一次DFS，时间复杂度同样O(N+M)，只需一次DFS不用建逆图，更加简洁，而且与无向图中点双连通分量等的tarjan算法有极大的联系，下次将会介绍 ，这里我们主要介绍tarjan算法。

我们要引入一些概念：
1.时间戳dfn：DFS时搜索的次序。
2.追溯值low：追溯到的最早的栈中节点次序号。
3.树枝边：搜索树的边。
4.前向边：在搜索树中，某个点是该点的祖先（先被搜到）但现在该点却指向这个它的祖先。
5.后向边：和前向边相反。
6.横向边：横跨两个搜索子树。
是不是很迷茫

这里我们借鉴一下马南邨的《不求甚解》中的思想，我们先不必对于这个了解透彻，当我们的知识积累到一定程度时，回过了看看这些内容，其实就更上一层楼了。

言归正转，我们来看看如何实现的：
首先每搜到一个点更新dfn值为++cnt，并把它压入栈中，
当从x点DFS时搜到没有更新dfn值的y点，那么就从这个点继续搜索，回溯时更新low值 $$low[x]=min(low[x],low[y])$$
当搜到了y点，且发现y已经更新dfn值，且不在栈中，那么更新low值
$$low[x]=min(low[x],dfn[y])$$
当回溯回来发现
$$low[x]=dfn[x]$$
那么就取出栈中的点，直到该点被取出，其中所有的点就组成了一个强连通分量。
代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1005;
int n,m,sum,cnt=0;
int id[N],dfn[N],low[N];
bool vis[N];
stack<int>a;
int first[N],nex[N],to[N],tot;

void add(int x,int y)
{
    
    
	nex[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}

void dfs(int x)
{
    
    
	cnt++;
	low[x]=cnt;dfn[x]=cnt;
	a.push(x);
	vis[x]=1;
	
	for(int i=first[x];i;i=nex[i])
	{
    
    
		int y=to[i];
		if(dfn[y]==0)
		{
    
    
			dfs(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else
		{
    
    
			if(vis[y]==1) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x])
	{
    
    
		sum++;
		do
		{
    
    
			t=a.top();
			id[t]=sum;//强连通分量的编号
			vis[t]=0;
			a.pop();
		}while(t!=x);
	}
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
    
    
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(dfn[i]==0) dfs(i);//如果搜完了该点没有更新即没有搜到，那么就从该点搜
	}
	
	cout<<sum<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		cout<<i<<"属于第"<<id[i]<<"个强连通分量"<<endl;
	}
	return 0;
}

送一道板子传送门luoguP2341
那么找强连通分量后有什么用处呢？
给出模板缩点luoguP3387。

缩点

顾名思义，我们可以把强连通分量缩为一个点，即把若干环缩为点，本题中要求我们要找点权和最大，那么遇到环，肯定是要全部都走一遍，那么我们就可以把这个环缩为一个点，点权值就是这个环中的点权值的总和，然后跑一遍DFS就可以了。
其中id表示的便是每个强连通分量，将其看做点来DFS。
代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e4+5,M=1e5+5;
int dfn[N],low[N],cnt,sum,id[N],w[N],w1[N],dp[N],n,m;
bool vis[N];
stack<int>a;
int first[N],nex[M],to[M],u[M],v[M],tot;

void add(int x,int y)
{
    
    
	nex[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}

void dfs(int x)
{
    
    
	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	a.push(x);
	vis[x]=1;
	
	for(int i=first[x];i;i=nex[i])
	{
    
    
		int y=to[i];
		if(dfn[y]==0)
		{
    
    
			dfs(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else
			if(vis[y]) 
			{
    
    
				low[x]=min(low[x],dfn[y]);
			}
	}
	
	if(dfn[x]==low[x])
	{
    
    
		sum++;
		int t;
		do
		{
    
    
			t=a.top();
			vis[t]=0;
			id[t]=sum;
			w1[id[t]]+=w[t];
			a.pop();
		}while(t!=x);
	}
}

void dfs1(int x)
{
    
    
	if(dp[x]!=0) return;
	dp[x]=w1[x];
	int Max=0;
	for(int i=first[x];i;i=nex[i])
	{
    
    
		int y=to[i];
		if(dp[y]==0) dfs1(y);
		Max=max(Max,dp[y]);
	}
	dp[x]+=Max;
}

int main()
{
    
    
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		scanf("%d",&w[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
    
    
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		u[i]=x;
		v[i]=y;
		add(x,y);
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(dfn[i]==0) dfs(i);
	}
	
	memset(first,0,sizeof(first));
	memset(nex,0,sizeof(nex));
	memset(to,0,sizeof(to));
	tot=0;
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
    
    
		if(id[u[i]]!=id[v[i]])
		{
    
    
			add(id[u[i]],id[v[i]]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=sum;i++)
	{
    
    
		if(dp[i]==0)
		{
    
    
			dfs1(i);
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}