【转】奇异值分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
$$Ax=\lambda x$$
其中$A$是一个$n\times n$矩阵，$x$是一个$n$维向量，则$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$是矩阵$A$的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$ ，以及这$n$个特征值所对应的特征向量$w_1,w_2,...,w_n$，

那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{-1}$$

其中$W$是这$n$个特征向量所张成的$n\times n$维矩阵，而$\Sigma$为这$n$个特征值为主对角线的$n\times n$维矩阵。

一般我们会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足${\Vert w_i\Vert }_2=1$，或者$\Vert w_i^T{w}_i\Vert =1$，此时W的$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{-1}$，也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成
$$A=W\Sigma W^T$$
注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。

那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
$$A=U\Sigma V^T$$

其中$U$是一个$m\times m$的矩阵， $\Sigma$是一个$n\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， $V$是一个$n\times n$的矩阵。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足
$$U^{T}U=I,V^{T}V=I$$
下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的$U$,$\Sigma$,$V$这三个矩阵呢？

如果我们将$A$的转置和$A$做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$

这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量$v$了。将$A^{T}A$的所有特征向量张成一个$n\times n$的矩阵$V$，就是我们SVD公式里面的$V$矩阵了。一般我们将$V$中的每个特征向量叫做$A$的右奇异向量。

如果我们将$A$和$A$的转置做矩阵乘法，那么会得到$m\times m$的一个方阵$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
这样我们就可以得到矩阵$A{A}^T$的$m$个特征值和对应的$m$个特征向量$u$了。将$A{A}^T$的所有特征向量张成一个$m\times m$的矩阵$U$，就是我们SVD公式里面的$U$矩阵了。一般我们将$U$中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

$U$和$V$我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\Sigma$没有求出了.

由于$\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$\sigma$就可以了。

我们注意到:
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i\Rightarrow {\sigma }_i=A{v}_i/u_i$$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说$A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的$V$矩阵，而$A{A}^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的$U$矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以$V$矩阵的证明为例。
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma U^T\Rightarrow A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$$
上式证明使用了$U^{T}U=I,{\Sigma }^T=\Sigma$。可以看出$A^{T}A$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的$V$矩阵。类似的方法可以得到$A{A}^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的$U$矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

这样也就是说，我们可以不用${\sigma }_i=\frac{A{V}_i}{u_i}$来计算奇异值，也可以通过求出$A^{T}A$的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

data=np.array(([0, 1],[1, 1],[1, 0]))
#array([[0, 1],
#       [1, 1],
#       [1, 0]])

求出$A^{T}A$和$A{A}^T$

np.dot(data.T, data)
array([[2, 1],
       [1, 2]])
       
np.dot(data, data.T)
array([[1, 1, 0],
       [1, 2, 1],
       [0, 1, 1]])

进而求出$A^{T}A$的特征值和特征向量：

val, vector = np.linalg.eig(np.dot(data.T, data))
val
array([3., 1.])
vector
array([[ 0.70710678, -0.70710678],
       [ 0.70710678,  0.70710678]])

接着求出$A{A}^T$的特征值和特征向量：

val, vector = np.linalg.eig(np.dot(data, data.T))
val
array([ 3.,  1., -0.])
vector
vector
array([[-0.40824829,  0.70710678,  0.57735027],
       [-0.81649658,  0.        , -0.57735027],
       [-0.40824829, -0.70710678,  0.57735027]])

利用$A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求奇异值：

也可以用${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇异值为$\sqrt{3}$和$1$.

np.sqrt(val)

最终得到A的奇异值分解为：

4. SVD的一些性质

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。

也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。

也就是说：

$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$
其中$k$要比$n$小很多，也就是一个大的矩阵$A$可以用三个小的矩阵$U_{m\times k}，{\Sigma }_{k\times k}，V_{k\times n}$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X{X}^T$的最大的$d$个特征向量，然后用这最大的$d$个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^{T}X$最大的$d$个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵$V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是$m\times n$的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵$X{X}^T$最大的$d$个特征向量张成的$m\times d$维矩阵$U$，则我们如果进行如下处理：
$$x_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$
可以得到一个$d\times n$的矩阵$X^{\prime }$,这个矩阵和我们原来的$m\times n$维样本矩阵$X$相比，行数从$m$减到了$k$，可见对行数进行了压缩。

左奇异矩阵可以用于行数的压缩。

右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。

SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。