多维最小值
本章描述了寻找任意多维函数最小值的函数。本库为各种迭代求最小值器和收敛测试提供了低级组件。用户可以将这些组合起来以实现所需的解决方案，同时提供对算法中间步骤的完全访问。每一类方法都使用相同的框架，因此可以在运行时在最小化器之间切换，而不需要重新编译程序。求最小值器的每个实例都跟踪自己的状态，允许在多线程程序中使用求最小值器。最小值算法可以通过反转函数的符号来实现函数的最大化。
头文件gsl_multimin.h包含求最小值函数和相关声明的原型。
39.1 概述
多维最小值问题要求找到一个点x，使标量函数，
取一个比任何相邻点都小的值。对于平滑函数，梯度g =∇ f在最小值处消失。一般来说，对于n维函数的最小值，没有可用的交叉法。算法从最初的猜测开始，使用搜索算法，尝试朝下坡方向移动。
利用函数的梯度的算法执行沿这个方向的一维直线最小化，直到找到一个合适的精度的最低点。然后利用函数及其导数的局部信息更新搜索方向，并重复整个过程，直到找到真正的n维最小值。
不需要函数梯度的算法使用不同的策略。例如，Nelder-Mead单纯形算法保持n+1个试验参数向量作为n维单纯形的顶点。在每次迭代中，它都试图通过几何变换来改进单纯形的最差点。迭代将继续进行，直到单纯形的总体大小充分减小为止。
这两种算法都使用标准框架。用户为算法提供高级驱动程序，本库提供每个步骤所需的单独函数。迭代有三个主要阶段，步骤如下,
• 初始化算法T的最小状态s
• 使用迭代T更新s
• 测试s收敛性，必要时重复迭代
每个迭代步骤要么是对当前方向的行最小值的改进，要么是对搜索方向本身的更新。求最小值器的状态保存在gsl_multimin_fdfminimizer结构体或gsl_multimin_fminimizer结构体中。
39.2 警告说明
请注意，最小值算法一次只能搜索一个局部最小值。当搜索区域中存在多个局部最小值时，将返回找到的第一个最小值；然而，很难预测这将是哪一个最小值。在大多数情况下，如果您试图在一个有多个最小值的区域中找到一个局部最小值，则不会报告任何错误。
值得注意的是，最小值算法寻找局部最小值；没有办法确定一个最小值是否是所讨论的函数的全局最小值。
39.3 初始化多维求最小值器
下面的函数初始化一个多维最小值。最小值本身只取决于问题的维数和算法，可以在不同的问题中重复使用。
gsl_multimin_fdfminimizer
这是一个使用导数求最小值函数的工作区间。
gsl_multimin_fminimizer
这是一个不用导数求最小值函数的工作区间。
gsl_multimin_fdfminimizer * gsl_multimin_fdfminimizer_alloc(
const gsl_multimin_fdfminimizer_type* T, size_t n)
gsl_multimin_fminimizer * gsl_multimin_fminimizer_alloc(
const gsl_multimin_fminimizer_type * T, size_t n)
对于n维函数，这两个函数返回一个指针，指向新分配的类型为T的求最小值器实例。如果没有足够的内存来创建求最小值器，则函数返回一个空指针，并使用错误代码GSL_ENOMEM调用错误处理程序。
int gsl_multimin_fdfminimizer_set(gsl_multimin_fdfminimizer * s,
gsl_multimin_function_fdf * fdf, const gsl_vector * x,
double step_size, double tol)
int gsl_multimin_fminimizer_set(gsl_multimin_fminimizer * s,
gsl_multimin_function * f, const gsl_vector * x,
const gsl_vector * step_size)
函数gsl_multimin_fdfminimizer_set()初始化求最小值器s，从初始点x开始来求最小值函数fdf。第一个试验步骤的大小由step_size给出。线路最小化的精度由tol规定。这个参数的确切含义取决于所使用的方法。通常情况下，如果函数g的梯度与当前搜索方向p正交到tol的相对精度，其中p·g < tol|p||g|，则认为直线最小化是成功的。tol值0.1适用于大多数目的，因为线路最小化只需要进行近似的操作。请注意，将tol设置为0将强制使用“精确的”行搜索，这是非常消耗资源。
函数gsl_multimin_fminimizer_set()初始化求最小值器s，从初始点x开始求最小值函数f。初始试验步骤的大小用向量step_size给出。这个参数的确切含义取决于所使用的方法。
void gsl_multimin_fdfminimizer_free(gsl_multimin_fdfminimizer * s)
void gsl_multimin_fminimizer_free(gsl_multimin_fminimizer * s)
这两个函数释放与求最小值器s相关的所有内存。
const char * gsl_multimin_fdfminimizer_name(const gsl_multimin_fdfminimizer * s)
const char * gsl_multimin_fminimizer_name(const gsl_multimin_fminimizer * s)
这两个函数返回一个指向求最小值器名称的指针。例如:
|
printf ("s is a '%s' minimizer\n", gsl_multimin_fdfminimizer_name (s)); |
将打印出类似如下内容： s is a 'conjugate_pr' minimizer.