插值
本章描述的是进行插值的函数。本库提供了各种插值方法，包括Cubic、Akima和Steffen样条。插补类型是可互换的，不需要重新编译就可以使用不同的方法。插值可以定义为正规边界条件和周期边界条件。附加函数可用于计算插值函数的导数和积分。例程提供了插值一维和二维数据集。
这些插值方法产生通过每个数据点的曲线。用平滑曲线插值噪声数据参见基样条。
本节中描述的函数声明在头文件gsl_interp.h和gsl_spline.h中。
30.1 一维插值介绍
给定一组数据点(x1, y1)…(xn, yn)，本节描述的例程计算一个连续插值函数y(x)，使y(xi) = yi。插补是分段光滑的，它在端点的行为取决于所使用的插补的类型。
30.2 一维插值函数
给定数据集的插值函数存储在gsl_interp对象中。是由以下函数创建的。
gsl_interp
一维差值的工作空间。
gsl_interp * gsl_interp_alloc(const gsl_interp_type * T, size_t size)
本函数返回一个指针，指向一个新分配的类型为T的，size大小的数据点的插值对象。
int gsl_interp_init(gsl_interp * interp, const double xa[], const double ya[],
size_t size)
本函数初始化数据(xa, ya)的插值对象interp，其中xa和ya是大小为size的数组。插值对象(gsl_interp)不保存数据数组xa和ya，只存储从数据计算出的静态状态。xa数据数组总是假定是严格有序的，且x值不断增加；没有定义其他约定的行为。
void gsl_interp_free(gsl_interp * interp)
本函数释放了差值对象interp。
30.3 一维插值类型
插值库提供以下插值类型：
gsl_interp_type
gsl_interp_linear
线性插值，这种插值方法不需要任何额外的内存。
gsl_interp_polynomial
多项式插值，这种方法只用于插值少量的点，因为多项式插值对较好的数据集也引入了大振荡。插值多项式的项数等于点数。
gsl_interp_cspline
具有自然边界条件的三次样条，得到的曲线在每个区间上是分段三次的，在提供的数据点上具有匹配的一阶导数和二阶导数。二阶导数在第一个点和最后一个点都为零。
gsl_interp_cspline_periodic
具有周期边界条件的三次样条，得到的曲线在每个区间上是分段三次的，在提供的数据点上具有匹配的一阶导数和二阶导数。第一个点和最后一个点的导数也是匹配的。注意，数据中的最后一个点必须与第一个点具有相同的y值，否则生成的周期性插值将在边界处具有不连续。
gsl_interp_akima
具有自然边界条件的非圆形Akima样条，本方法采用了Wodicka的非圆角算法。
gsl_interp_akima_periodic
具有周期边界条件的非圆形Akima样条，本方法采用了Wodicka的非圆角算法。
gsl_interp_steffen
Steffen方法保证了给定数据点间插值函数的单调性。因此，极小值和极大值只能准确地出现在数据点上，并且数据点之间不可能存在虚假的振荡。插值函数在每个区间上是分段三次的。得到的曲线及其一阶导数保证是连续的，但二阶导数可能是不连续的。
相关函数如下:
const char * gsl_interp_name(const gsl_interp * interp)
本函数返回interp使用的插值类型的名称。例如:
|
printf ("interp uses '%s' interpolation.\n", gsl_interp_name (interp)); |
将打印类似如下内容，
|
interp uses 'cspline' interpolation. |
unsigned int gsl_interp_min_size(const gsl_interp * interp)
unsigned int gsl_interp_type_min_size(const gsl_interp_type * T)
这些函数返回插补对象interp或插值类型T所需的最小点数。例如，Akima样条插值最少需要5个点。
30.4 一维索引查找和加速
搜索的状态存储在gsl_interp_accel对象中，它是一种用于插值查找的迭代器。
gsl_interp_accel
本工作空间存储用于插值查找的状态变量。它缓存索引查找之前的值。当后续插值点落在同一区间时，可以立即返回其索引值。
size_t gsl_interp_bsearch(const double x_array[], double x, size_t index_lo,
size_t index_hi)
本函数返回数组x_array的索引i，使x_array[i] <= x < x_array[i+1]。搜索索引的范围在[index_lo, index_hi]。定义HAVE_INLINE时，使用本函数的内联版本。
gsl_interp_accel * gsl_interp_accel_alloc(void)
本函数返回一个指向加速器对象的指针，它是一种用于插值查找的迭代器。它跟踪查找的状态，从而允许应用各种加速策略。
size_t gsl_interp_accel_find(gsl_interp_accel * a, const double x_array[],
size_t size, double x)
本函数使用给定的加速器a，对大小为size的数据数组x_array执行查找操作。这就是在计算插值期间执行查找的方式。函数返回一个索引i，使x_array[i] <= x < x_array[i+1]。定义HAVE_INLINE时，使用本函数的内联版本。
int gsl_interp_accel_reset(gsl_interp_accel * acc);
本函数重新初始化加速器对象acc。当缓存的信息不再适用时——例如，当切换到一个新的数据集时，应该使用它。
void gsl_interp_accel_free(gsl_interp_accel* acc)
本函数释放加速器对象acc。
30.5 一维插值函数的求值
double gsl_interp_eval(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc)
int gsl_interp_eval_e(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc, double * y)
这些函数使用插值对象interp、数据数组xa、ya和加速器acc返回给定点x的插值y值。当x超出xa的范围时，返回错误码GSL_EDOM, y的值为GSL_NAN。
double gsl_interp_eval_deriv(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc)
int gsl_interp_eval_deriv_e(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc,
double * d)
这些函数使用插值对象interp、数据数组xa、ya和加速器acc返回插值函数对给定点x的导数d。
double gsl_interp_eval_deriv2(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc)
int gsl_interp_eval_deriv2_e(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double x, gsl_interp_accel * acc,
double * d2)
这些函数使用插值对象interp、数据数组xa、ya和加速器acc返回对给定点x的插值函数的二阶导数d2。
double gsl_interp_eval_integ(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double a, double b,
gsl_interp_accel * acc)
int gsl_interp_eval_integ_e(const gsl_interp * interp, const double xa[],
const double ya[], double a, double b,
gsl_interp_accel * acc, double * result)
这些函数使用插值对象interp、数据数组xa、ya和加速器acc返回被插值函数在[a, b]范围内的数值积分result。
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图30.4:二维插值示例