数值积分
本章描述了对一维函数进行数值积分(求积)的程序。常用函数有自适应和非自适应集成的例程，具体情况有专门的例程。这些包括在无限和半无限范围内的积分，奇异积分，包括对数奇点，柯西主值的计算和振荡积分。本库重新实现了在QUADPACK中使用的算法，数值积分包由Piessens、de donker - kapenga、Ueberhuber和Kahaner编写。在Netlib上可以找到Fortran版的QUADPACK代码。包括具有高精度系数的非自适应、定阶Gauss-Legendre积分例程，以及IQPACK中各种加权函数的定阶求积规则。
本章中描述的函数声明在头文件gsl_integration.h中。
17.1 介绍
每种算法都会计算出以下形式的定积分的近似值：
其中，wx是一个权重函数(对于一般的被积函数wx=1)。用户提供了绝对误差和相对误差界限(epsabs,epsrel)，它规定了以下精度要求:
其中，RESULT是该算法获得的数值近似值。该算法尝试以以下不等式成立的方式估算绝对误差ABSERR = | RESULT - I |。
简言之，例程返回第一近似值，其绝对误差小于epsabs或相对误差小于epsrel。
请注意，这是一个“或”约束，而不是与约束。要计算指定的绝对误差，请将epsrel设置为零。要计算指定的相对误差，请将epsabs设置为零。如果误差范围太严格，例程将无法收敛，但始终会返回到该阶段为止获得的最佳近似值。
QUADPACK中的算法使用基于以下字母的命名约定:
|
Q - 积分函数 N - 非自适应积分器 A - 自适应积分器 G - 一般被积函数(用户定义) W - 被积函数的权重函数 S - 更易积分的奇异点 P - 可提供特殊难点 I - 无穷大的积分范围 O - 周期变动的权重函数，cos或sin F - 傅里叶积分 C - 柯西主值 |
算法建立在求积规则对、高阶规则对和低阶规则对的基础上。高阶规则用于计算小范围内积分的最佳近似值。高阶规则和低阶规则的结果之差给出了近似误差的估计。
17.1.1 不带权重函数的被积函数
一般函数(没有权重函数)的算法是基于高斯-克朗罗德规则。
高斯-克朗罗德规则以m阶的经典高斯求积规则开始。该规则在每个横坐标之间添加额外的点，从而得到更高阶的2m+1阶克朗罗德规则。克朗罗德规则是有效的，因为它重用了来自高斯规则的现有函数计算。
用高阶克朗罗德规则作为积分的最佳逼近，用两规则之差作为逼近误差的估计。
17.1.2 带权重函数的被积函数
对于具有权重函数的被积函数，该算法使用了克伦肖-柯蒂斯求积规则。
克伦肖-柯蒂斯规则从被积函数的n阶切比雪夫多项式近似开始。这个多项式可以精确地积分，从而逼近原函数的积分。切比雪夫展开式可以扩展到更高阶，以改进近似并提供误差的估计。
17.1.3 具有奇异权函数的被积函数
被积函数中奇异点(或其他行为)的存在会导致切比雪夫近似的缓慢收敛。在QUADPACK中使用的改进的克伦肖-柯蒂斯规则分离出几个常见的导致缓慢收敛的权函数。
利用切比雪夫多项式对这些权重函数进行分析积分，从而预先计算修正的切比雪夫矩。把矩和切比雪夫近似结合起来就得到了想要的积分。对函数的奇异部分使用解析积分可以精确地对消，并极大地改善了积分的整体收敛性。
17.2 QNG非自适应高斯-克朗罗德积分
QNG算法是一种非自适应的方法，它使用固定的高斯-克朗罗德-帕特森横坐标来对被积函数进行采样，最大采样点为87个。为平滑函数的快速积分提供了支持。
int gsl_integration_qng(constgsl_function* f, double a, double b, double epsabs,
double epsrel, double * result, double * abserr, size_t * neval)
本函数依次应用高斯-克朗罗德10个、21个、43个和87个点的积分规则，，直到在所需的绝对和相对误差限制(epsabs和epsrel)内取得，f 在(a,b)范围内的积分估计值。本函数返回最终的近似值result，绝对误差的估计数abserr和使用的函数计算次数neval。高斯-克朗罗德规则的设计方式是，每个规则使用其前一个规则的所有结果，以最小化函数计算的总数。
17.3 QAG 自适应积分
QAG算法是一个简单的自适应积分过程。将积分区域划分为子区间，每次迭代对估计误差最大的子区间进行二等分。当子区间集中于被积函数的局部困难时，这就迅速地减少了整体误差。这些子区间由以下结构来管理，
gsl_integration_workspace
本工作区处理子区间范围、结果和错误估计的内存。
gsl_integration_workspace * gsl_integration_workspace_alloc(size_t n)
本函数分配了一个工作空间，可以容纳n个双精度区间，以及它们的积分结果和误差估计。当所有必要的重新初始化由集成函数自动执行时，一个工作空间可以被多次使用。
void gsl_integration_workspace_free(gsl_integration_workspace * w)
本函数释放工作空间w所使用的内存。
int gsl_integration_qag(const gsl_function * f, double a, double b, double epsabs,
double epsrel, size_t limit, int key, gsl_integration_workspace * workspace,
double * result, double * abserr)
本函数根据所要求的相对和绝对误差限制, epsabs和epsrel，采用自适应积分规则计算，f在(a,b)上的积分的估计值。该函数返回最终的近似值，result，和绝对误差的估计数，abserr。积分规则由key值决定，key值应该从以下符号名称中选择，
•GSL_INTEG_GAUSS15(key = 1)
• GSL_INTEG_GAUSS21(key = 2)
• GSL_INTEG_GAUSS31(key = 3)
• GSL_INTEG_GAUSS41(key = 4)
• GSL_INTEG_GAUSS51(key = 5)
• GSL_INTEG_GAUSS61(key = 6)
对应于15个、21个、31个、41个、51个和61个点的高斯-克朗罗德规则。高阶规则为光滑函数提供了更好的准确性，而低阶规则在函数包含局部困难(如不连续)时节省了时间。
在每个迭代中，自适应积分策略以最大的误差估计将区间一分为二。子区间及其结果存储在workspace提供的内存中。子区间的最大数量由limit给出，它可能不超过工作区的分配大小。