一.讲解
扫描线：
下面是来自soar转载的一篇博客。
这篇博客解决了我对算区间长度时的不理解。实际上这个线段树的叶子节点保存的是这个点x坐标到下一个x坐标（排序后的）的区间长度。
题意:
二维平面有n个平行于坐标轴的矩形,现在要求出这些矩形的总面积. 重叠部分只能算一次.
分析:
线段树的典型扫描线用法.
首先假设有下图两个矩阵,我们如果用扫描线的方法如何计算它们的总面积呢?
首先我们将矩形的上下边分为上位边(即y坐标大的那条平行于x轴的边),和下位边(y坐标小的平行于x轴的边).然后我们把所有矩形的上下位边按照他们y坐标从小到大排序,可以得到4条扫描线:
又因为上面2个矩形有4个不同的浮点数x坐标,所以我们需要把x坐标离散化,这样才能用线段树来维护信息.所以我们这样离散化:
由上图可知,4个不同的x坐标把x轴分成了3段有效的区间.这里要注意我们线段树中每个叶节点(控制区间[L,L])不是指X[L]坐标,而是指区间[X[L],X[L+1]].线段树中其他节点控制的区间[L,R],也是指的x坐标轴的第L个区间到第R个区间的范围,也就是X[L]到X[R+1]坐标的范围.
然后我们Y坐标从小到大的顺序读入每条扫描线,并维护当前我们所读入的所有扫描线能有效覆盖X轴的最大长度sum[1].这里特别要注意如果我们读入的扫描线是矩形的下位边,那么我们就使得该范围的标记cnt位+1,如果是上位边,那么该范围的cnt就-1.所以如果cnt=0时,表示该节点控制的范围没有被覆盖,只要cnt!=0 就表示该节点控制的几块区间仍然被覆盖.
下面依次读入每条矩阵边,来一一分析,首先是读入第一条矩阵边:
我们读入了矩形1的下位边,那么该区域的cnt就+1=1了,所以该区域[10,20]就被覆盖了,然后可以推出整个区域被覆盖的长度是10.再根据第二条扫描线离第一条扫描线的高度差为5.所以不管你第二条扫描线是哪个矩形的什么边,或者能覆盖到X轴的什么范围,我上图中蓝色的矩形面积肯定是要算到总面积里面去的.即总面积ret+=sum[1]*(扫描线2的高度-扫描线1的高度). (想想看是不是这样).
下面读第二条扫描线:
由于第二条扫描线也是下位边,所以[15,20]和[20,25]的cnt+1.使得我们覆盖的范围变成了[10,25]了,并且第3条扫描线在20高度,所以这次我们必然增加的面积是上面深蓝色的长条=sum[1]*(扫描线3的高度-扫描线2的高度).
下面我们要读第三条扫描线了:
由于第三条扫描线是区间[10,20]的上位边,所以对应区间的cnt要-1,所以使得区间[10,15]的cnt=0了,而[15,20]区间的cnt-1之后变成了1.[20,25]的cnt仍然为1,不变.所以当前覆盖的有效x轴长度为10,即区间[15,25].所以增加的面积是图中褐色的部分.
到此,矩形的面积和就算出来了.由于对于任一矩形都是先读下位边(cnt+1),再读上位边(cnt-1)的,所以在更新线段树的过程中,任意节点的cnt都是>=0的.
下面说代码实现部分:
首先建立一个node结构体用来保存每条扫描线,node中有信息:
l: 表示扫描线的左端x坐标
r:表示扫描线的右端x坐标
h: 表示扫描线的高度
d: 为1或-1,标记扫描线是矩形的上位还是下位边.
我们首先读入所有矩形的信息,每读入一个矩形信息我们就更新两条扫描线,并且把矩形的两个端点x坐标放入X[MAXN]数组中,
然后我们对node和X都排序,node按h值从小到大排序.
X按从小到大排序.
然后我们在X的本地数组内,对X去重,并且用k表示一共有多少个X.
当我们需要找到第i个区域的两端点坐标时,只需要X[i]和X]i+1].
线段树维护cnt(根本信息)和sum两个信息,其中sum为double,cnt为int型.
cnt: >=0时表示本节点控制的区域内下位边个数-上位边个数的结果.如果==-1时,表示本节点左右子树的上下位边数不一致.
sum: 本节点控制的区域内cnt值不为0的区域总长度.
线段树操作:
PushDown(i,l,r):如果cnt!=-1,那么下放cnt信息,并更新子节点的sum信息.
PushUp(i,l,r): 根据子节点的cnt值和sum值更新父节点的cnt和sum值.
update(ql,qr,v,i,l,r): 使得[ql,qr]与[l,r]区间的公共部分cnt值+v.
如果ql<=l && r<=qr 且 cnt[i]!=-1的话,直接更新并return
否则先PushDown
在一次递归更新左右儿子
最后PushUp.
模板代码：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define lson (x << 1)
#define rson (x << 1 | 1)
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 10;
typedef long long ll;
int n;
ll x1, y1, x2, y2;
ll X[MAXN << 1];//X用来储存离散化x坐标
struct ScanLine {
ll l, r, h;
int mark;
// mark用于保存权值 (1 / -1)
bool operator < (const ScanLine &rhs) const {
return h < rhs.h;
}
} line[MAXN << 1];
struct SegTree {
int l, r, sum;
ll len;
// sum: 被完全覆盖的次数；
// len: 区间内被截的长度。
} tree[MAXN << 2];
void build_tree(int x, int l, int r) {
// 我觉得最不容易写错的一种建树方法
tree[x].l = l, tree[x].r = r;
tree[x].len = 0;
tree[x].sum = 0;
if(l == r)
return;
int mid = (l + r) >> 1;
build_tree(lson, l, mid);
build_tree(rson, mid + 1, r);
return;
}
void pushup(int x) {
int l = tree[x].l, r = tree[x].r;
if(tree[x].sum /* 也就是说被覆盖过 */ )
tree[x].len = X[r + 1] - X[l];
// 更新长度
else
tree[x].len = tree[lson].len + tree[rson].len;
// 合并儿子信息
}
void edit_tree(int x, ll L, ll R, int c) {
int l = tree[x].l, r = tree[x].r;
// 注意，l、r和L、R的意义完全不同
// l、r表示这个节点管辖的下标范围
// 而L、R则表示需要修改的真实区间
if(X[r + 1] <= L || R <= X[l])
return;
// 这里加等号的原因：
// 假设现在考虑 [2,5], [5,8] 两条线段，要修改 [1,5] 区间的sum
// 很明显，虽然5在这个区间内，[5,8] 却并不是我们希望修改的线段
// 所以总结一下，就加上了等号
if(L <= X[l] && X[r + 1] <= R) {
tree[x].sum += c;
pushup(x);
return;
}
edit_tree(lson, L, R, c);
edit_tree(rson, L, R, c);
pushup(x);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lli %lli %lli %lli", &x1, &y1, &x2, &y2);
X[2 * i - 1] = x1, X[2 * i] = x2;
line[2 * i - 1] = (ScanLine) {
x1, x2, y1, 1};
line[2 * i] = (ScanLine) {
x1, x2, y2, -1};
// 一条线段含两个端点，一个矩形的上下边都需要扫描线扫过
}
n <<= 1;
// 直接把 n <<= 1 方便操作
sort(line + 1, line + n + 1);
sort(X + 1, X + n + 1);
int tot = unique(X + 1, X + n + 1) - X - 1;
// 去重最简单的方法：使用unique！（在<algorithm>库中）
build_tree(1, 1, tot - 1);
// 为什么是 tot - 1 ：
// 因为右端点的对应关系已经被篡改了嘛…
// [1, tot - 1]描述的就是[X[1], X[tot]]
ll ans = 0;
for(int i = 1; i < n /* 最后一条边是不用管的 */ ; i++) {
edit_tree(1, line[i].l, line[i].r, line[i].mark);
// 先把扫描线信息导入线段树
ans += tree[1].len * (line[i + 1].h - line[i].h);
// 然后统计面积
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}
二.练习题
题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P5490
AC代码就是上面的模板