AtC230，D Destroyer Takahashi（贪心），E Fraction Floor Sum（二分，结论）

D - Destroyer Takahashi

题意：

给出 n 条线段，每条线段所处的位置为 [li,ri]。
每次操作可以选择连续的m个位置，所有处于这 m 个位置的线段都会被消除。
问，最少多少次操作能将所有线段消除？

思路：

贪心：对于每段线段，当操作位置选在从其所处的最后一个位置向后延伸m位置时，对后面线段的贡献最大。
将所有线段按照末尾位置从小到大排序。

从前往后遍历每条线段：

• 如果其首位置再在消除的最后位置前面，那么这条线段已经可以被前面线段触发的操作消掉了。跳过。
• 如果没有，那么从末位置开始，往后的 m-1 个位置上的线段都会被消掉。更新最后位置。

Code：

const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m;
PII a[N];

bool cmp(PII a,PII b){
    
    
	return a.se<b.se;
}

int main(){
    
    
	Ios; 
	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].fi>>a[i].se;
	
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	
	int maxa=0,cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(a[i].fi<=maxa) continue;
		cnt++;
		maxa = a[i].se+m-1;
	}
	cout<<cnt;
	
	return 0;
}

很妙的一道贪心题，之前也做过类似的，但是确实没想到。。

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E - Fraction Floor Sum

题意：

求 i 从 1 到 n，n/i下取整 之和。

思路：

能够证明，n/i下取整所得数的种类不超过 2*sqrt(n)种：

• 当 $i\le sqrt(n)$ 时，i 都不会超过 sqrt(n) 种，那 n/i 下取整也不会超过 sqrt(n) 种。
• 当 $i>sqrt(n)$ 时，n/i 的大小不会超过 sqrt(n)，那其种类也不会超过 sqrt(n) 种。 所以，所得数的种类不会超过 2*sqrt(n)。

那么，可以将 i 从前往后遍历，每次找到所得值能够满足的最右边的 i，答案+=所得值*长度，i 更新。

Code：

const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m;
int a[N];

int pd(int x)
{
    
    
	int l=x,r=n;
	while(l<r)
	{
    
    
		int mid=l+r+1>>1;
		if(n/mid==n/x) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l;
}

signed main(){
    
    
	cin>>n;
	
	int l=1,r=1;
	int ans=0;
	
	while(l<=n)
	{
    
    
		r=pd(l);
		
		ans += (r-l+1)*(n/l);
		
		l=r+1;
	}
	cout<<ans;
	
	return 0;
}