考研之数据结构017_二叉排序树（BST）

一、二叉排序树的定义

1.二叉排序树，又称“二叉查找树”（BST，Binary Search Tree）一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：
左子树结点值<根节点值<右子树根节点值

2.所以如果二叉树进行中序遍历（左根右），可以得到一个递增的有序序列
3.二叉排序树可用于元素的有序组织、搜索。

二、查找操作

1.非递归形式：（效率更好）

1.若树非空，目标值与根节点的值进行比较：
若相等，则查找成功。
若小于根节点，则在左子树上查找，否则在右子树上查找。
查找成功，则返回结点指针。
如果最后一个结点也是错误的，那么就会执行：否则指向右子树查找，明知右子树为null，所以返回的就是null。

2.递归形式实现查找：

由于二叉排序树的递归特性，我们也可以用递归方式来实现查找。

三、插入操作

进行了插入操作，也要保持二叉排序树的特性，所以我们也要用查找的逻辑找到要查找的具体位置，
注意的是：
1.不能插入相等的值（重复的结点）。
2.插入的结点，一定要是叶子结点

四、二叉排序树的构造（常考）

左子树结点值<根节点值<右子树根节点值

各个结点的插入的顺序不同，我们得到的形状不一样的二叉排序树。

五、删除操作

1.如果删除的是叶子结点

删除结点是叶子结点，那么直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。

那么还会保持二叉排序树的特性：左子树结点值<根节点值<右子树根节点值

2.如果删除的->只有左/右子树

那么就让删除的该节点的左、右子树进行替代。

3.如果删除的->左右子树都有

1.找后继来替代要删除的结点。

1.删除的该结点的，右子树当中找到值最小的结点。用这个值来替代，删除的结点。
2.其实就是找到右子树当中，按着中序遍历第一个被访问的结点。是因为：对排序树进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列，所以找到右子树当中，按着中序遍历被访问的第一个结点，那么肯定是右子树当中最小的结点
3.总结：如何找到要删除结点的右子树当中最小的结点？？
那就是要删除结点的右子树中，最左下的结点（可以是叶子，也可能是结点，比如说该节点还有右子树）。

2.找前驱来替代要删除的结点Z。

例如：要删除的结点是：Z
1.用前驱替代Z。也就是要找到当前结点，他的左子树当中最大的值来替代当前删除的结点Z。依然可以保证二叉排序树的特性。
2.Z的前驱：Z的左子树中最右下结点（肯定没有右子树）

六、查找效率分析（重要）

1.查找长度：在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反映了查找操作时间复杂度。
2.在查找时，每一次的对比，就相当于一次循环。分析查找长度，反应了查找时间复杂度。所以：
查找长度 应该等同于 查找时间复杂度

3.下面图是：查找成功的平均查找长度

4.如何计算：
每个结点：需要对比结点的次数 * 有几个结点（兄弟结点） ，进行相加，在除以n个结点。

5.若树高为h，找到最下层的一个结点需要对比h此，
6.最好情况：n个结点的二叉树最小高度：

平均查找长度就是说，找到其中任何一种查找概率是：2.525（所有节点的查找平均长度 也就是需要对比几次关键字的对比）

4.查找失败：第四行查找失败的个数有7个，第五行的两个。
第四行需要比较三次能到达第四行。
第五行需要比较四次能到达第五行。

（其中某一结点 乘以 需要比较的次数 ）/n个结点
所有加起来的值，再除以总结点数

ASL=（73+24）/9=3.22