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前言
Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~ 自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称:海轰 标签:程序猿|C++选手|学生 简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语! 机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然!
系列文章
【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论(1):图的基本概念
【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论(2):图的矩阵表示
【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论(3):路径与连通
【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论(4):有向图的连通性
2.4 数及其性质
2.4.1 树的特征
定义2.10
无圈连通图称为树,记为
T
T中
d(v)=1的顶点
v称为树叶
每个连通片都是树的图称为森林或林
孤立顶点称为平凡树
6个顶点的不同构树,共有6颗
定理2.4
G是树的充分必要条件是:
G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径
证明:
证必要性:
G是树\Rightarrow$$G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径
因为
G是树
所以
G明显是无环的且为连通
对于
V(G)中的任意两个顶点
u,v,必定存在一条路径
P1(u,v)
倘若
u,v之间还存在另一条路径
P2(u,v){P2(u,v)=P1(u,v)}
则一定存在一条边
e=xy在
P1上,但是不在
P2上
或者在
P2上,不在
P1上
但是
P1∪P2−e依然是连通的,设此时连通的路径为
P(x,y)
P1∪P2−e连通说明,去掉
e边后,
x,y之间还是存在路径可以连通
所以
P(x,y)+e构成一个圈
说明
G中含有圈,与
G是树相矛盾
说明
G中任意两点
u,v之间只存在唯一的路径
证充分性:
G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径\Rightarrow$$G是树
因为
G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径
所以
G是连通图
连通图就是图中任意两个顶点之间有路径存在,可以到达
假设
G中含有一个圈
C
则对于
C中任意两个顶点
都存在两条路径连通这两个顶点
与且任何两个顶点之间有唯一的路径相矛盾
假设不成立,说明
G中无圈
故
G是树
无圈连通图为树
定理2.5
G是树的充分必要条件是:
G连通且
ϵ(G)=ν(G)−1
证明:
证必要性:
G是树\Rightarrow$$G连通且
ϵ(G)=ν(G)−1
G是树则
G一定是连通的
下面着重证
ϵ(G)=ν(G)−1
使用数学归纳法进行证明
假设当
v<n时,
ϵ(G)=ν(G)−1
当
v=1时,
ϵ(G)=0,
ϵ(G)=ν(G)−1成立
当
v=2时,
ϵ(G)=1,
ϵ(G)=ν(G)−1成立
当
v=n时,在
G中任意取一条边
e(u,v)∈E(G)
令
G0=G−e
因为在顶点
u,v之间只存在一条路径
所以
G0不连通且
w(G0)=2
设
G0中的两个连通片分别为
G1,G2
显然有
G1,G2是树,且均无圈,顶点个数均小于
n
满足
ϵ(G1)=ν(G1)−1,ϵ(G2)=ν(G2)−1
所以
ϵ(G)=ϵ(G1)+ϵ(G2)+1=ν(G1)−1+ν(G2)−1+1=ν(G)−1
即
ϵ(G)=ν(G)−1
证充分性:
G连通且
ϵ(G)=ν(G)−1⇒G是树
因为树是无圈连通图,
G已经是连通图,所以只需要证明其无圈
使用数学归纳法进行证明
假设
v<n时,
G连通且
ϵ(G)=ν(G)−1⇒G无圈成立
当
v=1时,
ϵ(G)=ν(G)−1=1−1=0⇒G是无圈
当
v=2时,
ϵ(G)=ν(G)−1=2−1=1⇒G是无圈
当
v=n时,则
G中至少有一点
u的次数为1
若
δ≥2,依据握手定理
2ε=∑d(v)≥n⋅δ≥2n 即
ε≥n 与
ϵ(G)=ν(G)−1相矛盾 所以
G中至少有一个顶点的次数为1(不可能为0,因为
G是连通的,最小次数至少为1)
则
G−u是连通的
G是连通的,且
u的次数是1,所以
G去掉
u后的图依然是连通的
可以推导出:
ε(G−u)=ε(G)−1=(ν(G)−1)−1=ν(G−u)−1
因为对于
v<n时,
G连通且
ϵ(G)=ν(G)−1⇒G无圈成立
所以
G−u是无圈的
进而
G是无圈的
对一个无圈图,添加一个一次顶点,得到的新图也是一个无圈图
定理2.6
G是树的充分必要条件是
G连通,且对
G的任一边
e,
G−e不连通
证明:
证必要性:
G是树\Rightarrow$$G连通,且对
G的任一边
e,
G−e不连通
G是树,则一定连通
设
e=uv
因为
u,v之间只有唯一的一条路径
所以
G−e不连通,
w(G−e)=2
证充分性:
G连通,且对
G的任一边
e,
G−e不连通\Rightarrow$$G是树
已知
G连通,需要证明
G是树
只需要再证明
G中无圈
使用反证法
假设
G中含有一个圈
C
若
e属于圈
C中的一条边
则
G−e也是连通的
与已知条件相矛盾
故假设不成立,
G中无圈
所以
G是树
定理2.7
(1)
G是树的充分必要条件是
G无圈且
ε(G)=ν(G)−1
(2)
G是树的充要条件是
G无圈,对任意
e=uv∈/E(G)(u,v∈V(G)),
G+e恰有一个圈
推论2.7.1
每个非平凡树至少有两个一次顶点
证明:
G是一个非平凡树
使用反证法
假设一次顶点的个数小于两个
则至少有
v−1个顶点的次数大于等于2
由握手定理,得
2ε=∑v∈V(G)d(v)>2⋅(v−1)
化简,得到
ε>v−1
因为
G是树,有
ε=v−1
故假设不成立
说明每个非平凡树至少有两个一次顶点
定义2.11:生成树
若
T是
G的生成子图,且
T是树,则称
T为
G的生成树
推论2.7.2
G连通的充要条件是
G有生成树
证明:
证必要性:
G连通\Rightarrow$$G有生成树
设
G连通,
T是
G中边数最少的连通生成子图
图连通,肯定是有生成子图的
若
T中有圈
则可以去掉圈中任意一边
e,
T−e依然连通
但与假设
T是
G中边数最少的连通生成子图相矛盾
故
T中无圈
因为
T既是
G的生存子图,且为树(连通且无圈)
所以
T是
G的生成树
说明:
G连通\Rightarrow$$G有生成树
证充分性:
G有生成树\Rightarrow$$G连通
设
T是
G的一个生成树
则
T一定是连通的
因为
T是
G的生成子图且
T连通
说明
G一定也是连通的
2.4.2 生成树的数目
边
e的收缩
图
G的一边
e被收缩,是指从
G中把
e删除,并将
e的两端点重合,所得的新图记为
G⋅e
定理2.8:求图的生成树的个数
e是连通图
G的非环状边,则图
G的不同生成树数目
τ(G)为
τ(G)=τ(G−e)+τ(G⋅e)
定理2.9:Caylay公式
τ(Kn)=nn−2
结语
说明:
- 参考于 课本《图论》
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程
希望对您有一点点帮助,如有错误欢迎小伙伴指正