信号与系统2022春季学期第六次作业

  ◎ 本文网络下载链接： 2022年春季第第六次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123888362

  关于提交作业的基本要求，请参见： 通过提交两份作业综述对提交作业的基本要求 。

§01 基础作业

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1.1 傅里叶变换与反变换

1.1.1 求信号的傅里叶变换

  求下面所示单周期正弦脉冲和锯齿脉冲信号的傅里叶变换。

（1）必做题

 Ⅰ.正弦脉冲信号

▲ 图1.1.1 正弦脉冲信号

提示：将sin函数转换成复指数叠加，再进行计算更加方便一些。

 Ⅱ.梯形脉冲信号

  请分别应用傅里叶变换的卷积性质、微分性质 两种方法求取下面梯形信号的傅里叶变换。

▲ 图1.1.2 梯形脉冲信号

提示：可以应用傅里叶变换卷积

（2）选做题

 Ⅰ.锯齿脉冲信号

▲ 图1.1.3 锯齿脉冲信号

提示：可以直接进行计算，利用分部积分进行计算。 也可以利用傅里叶变换的微分性质进行计算。

1.1.2 求傅里叶反变换

已知信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $F\left(\omega \right)$ 对应的幅度谱 $\left|F\left(\omega \right)\right|$ 和相位谱 $\varphi \left(\omega \right)$ ，利用傅里叶反变换求取 $f\left(t\right)$ 。

（1）必做题

▲ 图1.1.4 信号的幅度谱和相位谱

（2）选做题

▲ 图1.1.5 信号的幅度谱和相位谱

提示：这个题目没有什么好说的，是来练习FT反变换公式的。在现在，你们只要直接带入FT反变换公式就可以计算了。根据信号频谱的范围，确定FT反变换的区间。将信号的频谱（包括幅度谱和相位谱)表示成复指数形式参与计算比较简单。

1.1.3 求下列信号的傅里叶反变换

（1）必做题

 Ⅰ.第一小题

$$F\left(\omega \right)=\frac{1}{{\omega }^2}$$

提示：利用频域微分定义：

（2）选做题

 Ⅰ.第二小题

$$F\left(\omega \right)=8\pi \delta \left(\omega \right)+\frac{5}{\left(j\omega -2\right)\left(j\omega +3\right)}$$

提示： 对 $F\left(\omega \right)$ 进行因式分解，形成三项，然后再分别写出对应的傅里叶反变换后对应的时域信号。

1.2 傅里叶变换性质

1.2.1 求信号时域运算后对应的频谱

  已知信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换：
  利用傅里叶变换性质确定下列信号的傅里叶变换。

（1）必做题

  必做题包括上述（1）、（3）、（5）三个小题；

（2）选做题

  选做题包括上述（2）、（4）、（6）三个小题；

注释：显然，这个题目就是希望通过傅里叶
变换的性质，完成信号傅里叶变换公式推导。
1：尺度，时域位移
2: 线性，频域微分(时域线性加权)
3: 尺度，频域微分
4：时域微分，频域微分
5：尺度，时域位移
6：线性，位移，反褶，频域微分

1.2.2 求下面一组信号的傅里叶变换

（1）必做题

  必做题包括上面（2）、（4）、（6）三个小题。

（2）选做题

  选做题包括上面（1）、（3）、（5）三个小题；

提示：
（1）

（2）直接代入公式求解最方便；
（3） $e^{-at}\cdot u\left(t\right)$ 进行 $\cos \left(t\right)$ 调制；
（4）

（5）直接代入公式求解最方便；
（5）先确定 $Sa\left(t\right)$ 的傅里叶变换，然后按照 频移：$Sa\left(t\right)\cdot e^{j{\omega }_{0}t}$ →频域微分： $t\cdot Sa\left(t\right)\cdot e^{j{\omega }_{0}t}$ →时移： $t\cdot f\left(t\right)\cdot e^{j{\omega }_0\left(t-3\right)}$ 。

1.3 信号频谱分析

1.3.1 信号相位变化对信号影响

  已知实数信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换为 $F\left(\omega \right)$ 。它的频谱如下图所示：

▲ 图1.3.1 信号f(t)的幅度谱和相位谱

  信号 $f_a\left(t\right),f_b\left(t\right),f_c\left(t\right),f_d\left(t\right)$ 的幅度谱与 $f\left(t\right)$ 的幅度谱相同，它们的相位谱分别如下面（a）、（b）、（c）、（d）所示，使用 $f\left(t\right)$ 分别表示出 $f_a\left(t\right),f_b\left(t\right),f_c\left(t\right),f_d\left(t\right)$ 。

▲ 图1.3.2 四个信号的相位谱

提示：这里主要考虑时移、反褶带来信号的相位变化。

1.3.2 信号平方的频谱

  已知信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换为：
  如下图所示：

▲ 图1.3.3 信号的频谱

  求： $f^2\left(t\right)$ 的傅里叶变换， 并画出它的频谱图。

  提示：这一题目需要应用到FT的频域卷积定理；今天课程没有讲，大家参考课件中的定理。实际上，本题的主要目的是要求绘制出f(t)的频域与其自身的卷积。最后还需要考虑到2π的因子。

1.3.3 单边正弦、余弦频谱

（1）选做题

  已知阶跃函数和正弦、余弦函数的の傅里叶变换：

  求单边正弦信号和单边余弦信号的傅里叶变换。

提示：利用傅里叶变换频谱卷积定义，或者利用傅里叶变换频移性质求解。

1.3.4 三角脉冲调制信号的频谱

  已知三角脉冲信号 $f_1\left(t\right)$ 的傅里叶变换为：
  是利用傅里叶变换相关性质求解： $$f_2\left(t\right)=f_1\left(t-\frac{\tau }{2}\right)\cdot \cos \left({\omega }_{0}t\right)$$ 的傅里叶变换 $F_2\left(\omega \right)$ 。

▲ 图1.3.4 f1,f2信号的波形

  要求分别应用傅里叶变换的频移性质、品与卷积性质两种方式分别求解上述 $F_2\left(\omega \right)$ 。

1.4 周期信号的傅里叶变换

1.4.1 求以下两个周期信号傅里叶变换

  已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换，求下图所示的周期梯形信号和周期全波信号的傅里叶变化。

（1）必做题

  单个梯形信号的傅里叶变换：

  周期梯形信号波形如下图所示：

▲ 图1.4.1 周期梯形信号

（2）选做题

  单个半波余弦脉冲信号的傅里叶变换：

▲ 图1.4.2 周期半波余弦（余弦信号全波整流）信号

提示： 三个：离散化。 $$F_p\left(\omega \right)={\omega }_1\cdot \sum _{n=-\infty }^{+\infty }{F}_0\left(n{\omega }_1\right)\cdot \delta \left(\omega -n{\omega }_1\right)$$

1.5 证明数学虚幻模式

  这道题目内容来自于： Illusive patterns in math explained by ideas in physics 的启发。

▲ 图1.5.1 应用物理解释数学中的魔幻模式

1.5.1 必做题

  试通过傅里叶变换性质证明下面积分中，当 $N=1,2,3,4,5,6,7$ 时，积分值严格等于 $\pi$ 。当 $N\ge 8$ 之后，积分值就严格小于 $\pi$ 。

1.5.2 选做题

  证明下面积分式的取值，当 $N=1,2,\cdots ,56$ 时，积分值都严格等于 $\pi /2$ 。当 $N\ge 57$ 后，积分值小于 $\pi /2$ 。

1.5.3 参考文献

• Illusive patterns in math explained by ideas in physics
• Convolution, Fourier Transforms and Sinc Integrals
• 数学中的虚幻模式
• 从数学中的虚幻模式到傅里叶变换性质

§02 实验题目

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2.1 利用MATLAB求信号傅里叶变换

  在MATLAB 中使用 fourier， ifourer命令可以求取函数的傅里叶变换数学表达式。 请在MATLAB中使用相关命令求取下面信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换。

2.1.1 傅里叶变换

（1）信号表达式

▲ 信号的波形

from headm import *

t = linspace(-2, 2, 1000)

plt.plot(t, t, label='f1(t)')
plt.plot(t, exp(-t**2), label='f2(t)')
plt.plot(t, exp(-t)*heaviside(t, 0.5), label='f3(t)')
plt.plot(t, heaviside(t+1,0.5)-heaviside(t-1,0.5), label='f4(t)')
plt.plot(t, (1-abs(t))*(heaviside(t+1, 0.5)-heaviside(t-1, 0.5)), label='f5(5)')

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f1(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

（2）MATLAB命令

fourier((heaviside(t+1)-heaviside(t-1))*(1-abs(t)))'
fourier(heaviside(t+1)-heaviside(t-1))'
fourier(1/t)'
fourier(exp(-t^2))'
fourier(exp(-t)*heaviside(t))'

2.1.2 傅里叶逆变换

（1）信号频谱表达式

▲ 图2.1.2 频谱信号波形

from headm import *

w = linspace(-2, 2, 1000)
plt.plot(w, w*exp(-3*w)*heaviside(w, 0.5), label='F1(w)')
plt.plot(w, 1/(1+w**2), label='F2(w)')
plt.plot(w, w, label='F3(w)')
plt.plot(w, heaviside(w+1, 0.5)-heaviside(w-1,0.5), label='F4(w)')

plt.xlabel("omiga")
plt.ylabel("F(omiga)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()

（2）MATLAB相关命令

ifourier(w*exp(-3*w)*heaviside(w))'+1
ifourier(1/(1+w^2))
ifourier(w)
ifourier(heaviside(w+1)-heaviside(w-1))

2.2 信号频谱内的信息

  普通的实数信号 $f\left(t\right)$ 经过傅里叶变换之后，会产生一个复数频谱 $F\left(\omega \right)$ 。根据实际需要，我们可以从复频谱中的实部、虚部、幅值、相角获得我们需要的信息。

  根据傅里叶变换的“奇偶虚实”特性，我们知道：

• 傅里叶变换的实部：对应信号的偶分量；
• 傅里叶变换的虚部：对应信号的奇分量；

  那么信号频谱的幅值，相角又反映了信号的什么信息？

  下面通过实验来让我们从 一个角度看看信号频谱的幅值、相角内包含的信息。

2.2.1 图片频谱中的幅值和相位信息

（1）实验数据

  实验灰度图像数据可以直接从本网页，鼠标右键点击“图片零存为” 获得。

▲ 图2.2.1 测试图片

（2）实验要求

  利用二维快速傅里叶变换，获得上灰度图像的频谱。 下给出了上述图片的幅度和相位谱。

▲ 图像的幅度和相位谱

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
import cv2

imageid = 3
filename = tspgetdopfile(imageid)
print(filename)

img = cv2.imread(filename)
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

imgfft = numpy.fft.fft2(gray)
print(shape(imgfft))

imgabs = abs(imgfft)
imgabs[imgabs > 20000] = 20000
imgangle = angle(imgfft)

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(imgabs)
plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(imgangle)
plt.show()

print('\a')

 Ⅰ.恢复幅度谱信息

  将计算结果中的相位都置为0， 进行傅里叶反变换， 获得图片频谱中幅度图像信息。

▲ 图2.2.3 原图像以及幅度谱恢复的图像信息

img0 = numpy.fft.ifft2(imgfft)
img1 = numpy.fft.ifft2(abs(imgfft))
img1[img1>255]=255

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(abs(img0))
plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(abs(img1))
plt.show()

注意：请注意上述代码中，对于数组img1进行饱和处理的作用。

 Ⅱ.恢复相位谱信息

  将计算结果中的幅值都置为1， 进行傅里叶反变换，获得图片频谱中的相位图像信息。

▲ 原始图像以及相位恢复的图像信息

img0 = numpy.fft.ifft2(imgfft)
img1 = numpy.fft.ifft2(imgfft/abs(imgfft))

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(abs(img0))
plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(abs(img1))
plt.show()

（3）实验分析

  通过对比从图像频谱中的幅度和相位恢复结果来看，讨论图像中的结构信息主要是分布在幅度谱还是相位谱？

2.2.2 声音频谱中的幅值和相位信息

  对于声音信号进行相同的分析，分别从声音信号中的幅度谱和相位谱还原对应的声音，讨论一下从哪一部分可以听出原来的声音信号。

（1）数据准备

  下面我利用 Audacity音频录制软件 截取了 西瓜视频中降央卓玛经典歌曲《西海情歌 中的片段（时长1:15），转存成 .WAV文件。

▲ 图2.2.5 西海情歌

  这个数据文件也可以从下面链接下载：

• 西海情歌片段： : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/blob/master/Signals&Systems/2022年/XIHaiLoveSong.wav

▲ 图2.2.6 截取音频信号

（2）数据处理

 Ⅰ.读取波形数据

  参考博文 电话双音频拨号声音中的干扰信号 中对于音频WAV文件的读写方法，将上述波形文件进行读取。

▲ 音乐片段波形

filename = r'D:\Temp\XIHaiLoveSong.wav'
from scipy.io import wavfile

sample_rate,sig = wavfile.read(filename)
printf(sample_rate, shape(sig))

plt.plot(sig)

plt.xlabel("Sample")
plt.ylabel("Wave")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

 Ⅱ.获取信号频谱幅度对应波形

▲ 幅度品返回的波形

 Ⅲ.获取信号相位幅度对应波形

▲ 相位谱恢复的信息

from headm import *

filename = r'D:\Temp\XIHaiLoveSong.wav'
from scipy.io import wavfile

sample_rate,sig = wavfile.read(filename)

sigfft = numpy.fft.fft(sig)

siga = numpy.fft.ifft(sigfft/abs(sigfft)*1e7)
#siga[siga>=0x7fff]=0x7fff
#siga[siga<-0x7fff]=-0x7fff

outfile1 = r'd:\temp\1.wav'
wavfile.write(outfile1, sample_rate, siga.astype(int16))
plt.plot(siga.real)

plt.xlabel("Sample")
plt.ylabel("Wave")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

（3）数据讨论

  大家可以通过试听恢复的声音信号，看幅度谱中和相位谱恢复的音频中哪一个还可以听出原来的歌曲。

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2022 春季学期第五次作业
• 两份提交的作业对比
• Illusive patterns in math explained by ideas in physics
• 数学中的虚幻模式
• 从数学中的虚幻模式到傅里叶变换性质
• Audacity音频录制软件
• 西瓜视频中降央卓玛经典歌曲《西海情歌
• 西海情歌片段：
• 电话双音频拨号声音中的干扰信号

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 正弦脉冲信号
• 图1.1.2 梯形脉冲信号
• 图1.1.3 锯齿脉冲信号
• 图1.1.4 信号的幅度谱和相位谱
• 图1.1.5 信号的幅度谱和相位谱
• 图1.3.1 信号f(t)的幅度谱和相位谱
• 图1.3.2 四个信号的相位谱
• 图1.3.3 信号的频谱
• 图1.3.4 f1,f2信号的波形
• 图1.4.1 周期梯形信号
• 图1.4.2 周期半波余弦（余弦信号全波整流）信号
• 图1.5.1 应用物理解释数学中的魔幻模式
• 信号的波形
• 图2.1.2 频谱信号波形
• 图2.2.1 测试图片
• 图像的幅度和相位谱
• 图2.2.3 原图像以及幅度谱恢复的图像信息
• 原始图像以及相位恢复的图像信息
• 图2.2.5 西海情歌
• 图2.2.6 截取音频信号
• 音乐片段波形
• 幅度品返回的波形
• 相位谱恢复的信息