01 基础练习
一、傅里叶变换
1、必做题
（1） ◎ 解答:
▲ 图1.1.1 奇对称半波正弦脉冲信号
根据波形可以知道信号的表达式为：
根据傅里叶变换公式，该信号的频谱为：
下面利用 Sympl 中的符号推导验证 一下上面答案的正确性。
x,T,t,n = symbols('x,T,t,n')
o,E,a = symbols('omega,E,tau')
Fo = E*integrate(sin(2*pi*t/a)*exp(-I*o*t),(t,-a/2,a/2))
result = simplify(Fo)
下面是 Sympl 积分后给出的答案， 可以看到它 与前面的答案是一致的。
（2） ◎ 求解：
（3）◎ 解答：
（4） ◎ 解答：
2、选做题
（1） ◎ 解答
▲ 图1.1.2 信号的波形
通过给定的 f(t) 的波形，可以看到它可以通过 宽度为 τ \tau τ ，高度为 E 的矩形信号 f 1 ( t ) f_1 \left( t \right) f1(t) 减去 同样宽度和高度的等腰三角形信号 f 2 ( t ) f_2 \left( t \right) f2(t) 获得。 对于 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) f_1 \left( t \right),f_2 \left( t \right) f1(t),f2(t) 的频谱分别是：
所以题目波形对应的信号的频谱为：
（2） ◎ 解答：
二、傅里叶反变换
必做题
（1） ◎ 解答：
▲ 图1.2.1 信号的幅度谱和相位谱
（2）◎ 解答：
下面是信号的波形。 其中参数 A = 1 , ω 0 = π A = 1,\,\,\omega _0 = \pi A=1,ω0=π 。
▲ 图1.2.2 信号的波形
为了验证一下上述结果， 下面使用 Python 程序，利用 IFFT 工具，将给定的频谱进行反变换，对比一下结果与理论推导之间是否一致。
▲ 图1.2.3 利用 IFFT 将频谱进行反变换，获得对应的信号波形
from headm import *
A=1
o0 = pi
tn = 100000
startt = -20
endt = -startt
ts = (endt-startt)/tn
os = 2*pi/ts
o1 = 2*pi/(endt-startt)
starto = -os/2
endo = os/2
onum = int(os/o1)
t = linspace(startt, endt, tn)
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
o = linspace(starto, endo, len(t))
amp = G(o, -o0, o0)*A
phase = G(o, -o0, 0)*pi/4 + G(o, 0, o0)*(-pi/4)
cn = len(o)//2
Fo = amp*exp(1j*phase)
Fo = list(Fo)
Fo = Fo[cn:]+Fo[:cn]
ft = real(fft.ifft(Fo))/ts
ft = list(ft)
ft = ft[cn:]+ft[:cn]
plt.plot(t, ft, lw=3,label='IFFT Curve')
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
ft = A/pi/t*(sqrt(2)/2+sin(o0*t-pi/4))
plt.plot(t, ft, lw=1, label='Formular')
printff(min(ft), max(ft))
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc='upper right')
plt.tight_layout()
plt.show()
（2） ◎ 解答：
根据 F ( ω ) F\left( \omega \right) F(ω) 的表达式，将其进行因式分解：
根据每一个因式， 可以写出各自对应的因果信号时域表达式，将它们叠加在一起，得到 F ( ω ) F\left( \omega \right) F(ω) 对应的时域信号：
2、选做题
（1） ◎ 解答：
▲ 图1.2.4 信号的幅度谱和相位谱
利用 IFFT 对频谱数值反变换， 并与上面解答曲线绘制在一起，其中参数 A = 1 , ω 0 = π , t 0 = 1 A = 1,\,\,\omega _0 = \pi ,t_0 = 1 A=1,ω0=π,t0=1 。 可以看到它们之间几乎是重合的。
▲ 图1.2.5 利用IFFT 进行反变换与推导出的公式进行对比
（2） ◎ 解答：
根据给定频谱图像，可以得到 F ( ω ) F\left( \omega \right) F(ω) 的表达式：
已知
根据傅里叶变换的对偶性质：
所以
由此可知
三、傅里叶变换形式
1、必做题
（1） ◎ 解答：
（2） ◎ 解答：
（3） ◎ 解答：
（4） ◎ 求解：
（5） ◎ 求解：
对于中心在原点，宽度为 B， 高度为 A 的方波 频谱， 对应的时域信号为：
根据傅里叶变换频移特性， 原图频谱对应的时域信号为：
选做题
（1） ◎ 解答：
（2） ◎ 求解：
四、信号综合分析
（1） ◎ 解答：
根据傅里叶变换时移特性：
所以：
（2） ◎ 解答：
R ( − ω ) R\left( { - \omega } \right) R(−ω) 的傅里叶反变换对应着 f ( t ) f\left( t \right) f(t) 的偶分量：
▲ 图1.4.1 信号的偶分量
（3） ◎ 求解：
▲ 图1.4.2 信号的面积
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