01 基础练习
一、信号的采样与恢复
1、采样信号恢复
▲ 图1.1.1 一阶保持恢复的采样信号
◎ 解答
（1） 对信号的一阶保持回复， 可以看成对采样的离散信号 使用 三角脉冲信号进行卷积。 根据题目给定的信号采样参数， 对应的三角脉冲信号的宽度为 0.2 μ s 0.2\mu s 0.2μs （对应 5MHz 的周期）。
对于频谱为 5MHz， 幅度为 1 的正弦波， 它的频谱为：
由于 F 0 ( ω ) F_0 \left( \omega \right) F0(ω) 是一个纯虚数， 所以下面绘制出 j ⋅ F 0 ( ω ) j \cdot F_0 \left( \omega \right) j⋅F0(ω) 对应的波形：
▲ 图1.1.2 正弦波的频谱
对其进行 25MHz 的理想采样， 对应的频谱为：
对应的频谱绘制如下， 为了显示出周期延拓，频率轴的尺度进行了压缩。
▲ 图1.1.3 理想采样信号频谱
对采样信号进行一阶保持， 等效于和采样周期等宽的三角脉冲信号进行卷积。 如下图所示：
▲ 图1.1.4 一阶保持对应的插值三角脉冲信号
该信号的频谱为：
因此， 一阶保持信号的频谱为：
可以看出一阶保持信号的频谱是在原来周期冲击频谱的基础上， 前面乘以 S a 2 ( 5 × 1 0 − 8 ω ) Sa^2 \left( {5 \times 10^{ - 8} \omega } \right) Sa2(5×10−8ω) 加权系数，下面将该 sinc 函数与周期频谱绘制在一起， 也可以看到恢复信号的频谱主要包含有原信号 F 0 ( ω ) F_0 \left( \omega \right) F0(ω) 以及高次谐波， 但高次谐波分量被衰减较多（随着 ω 2 \omega ^2 ω2 分之一衰减）。 所以绘制出来的信号频谱应该与原始 5MHz 正弦波频谱基本上一样， 高次谐波看不出来。
▲ 图1.1.5 将Sinc函数加权信号与理想采样对应的周期频谱绘制在一起
下面是将一阶保持恢复信号的频谱绘制出来， 对应的高频谐波频谱省略了， 它们太小了。 请注意， 基波冲激频谱的强度，由原来的 π \pi π 变成了 10 / π 10/\pi 10/π ， 幅值有所衰减。
▲ 图1.1.6 一阶保持信号频谱（省略了高斯谐波）
（2） 从一阶保持波形中，恢复原来的 5MHz 的正弦波，对应的补偿滤波器的频谱特性如下：
2、采样信号的频谱
▲ 图1.1.7 三角形与升余弦脉冲信号
◎ 解答：
查找典型信号频谱， 可以分别得到单个三角脉冲以及升余弦脉冲信号的频谱表达式。 单个三角脉冲信号的频谱为：
单个升余弦脉冲信号的频谱为：
将它们使用 T s = τ / 10 T_s = \tau /10 Ts=τ/10 进行采样后，对应的频谱为：
下面使用 Python 程序绘制上面频谱图。 为了便于绘制， 设置频谱中的参数 E = 1 , τ = 1 E = 1,\,\,\tau = 1 E=1,τ=1 。
▲ 图1.1.7 三角脉冲信号采样信号频谱示意图
▲ 图1.1.8 升余弦脉冲信号采样信号频谱示意图
from headm import *
t = linspace(-100, 100, 10000)
f = 0*t
for i in range(100):
n = i - 50
o = t-20*pi*n
f = f + 5*sinc(o/2/pi)/(1-(o/2/pi)**2)
plt.plot(t, f, lw=3)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.axis([min(t)-(max(t)-min(t))/20, max(t)+(max(t)-min(t))/20, -6.00, 10.00])
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
二、Laplace变换
◎ 求解：
（1）
▲ 图1.2.1 Laplace变换结果中的零极点
from headm import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
a,t = symbols('a,t', real=True)
s = symbols('s')
Fs = laplace_transform(2-exp(-a*t), t,s)
result = simplify(Fs)
print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))
（2）
下面直接根据 sin(t), cos(t) 的Laplace的变换结果， 利用 Laplace 线性性， 可以得到：
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
这个题目实际上对应的 Laplace 变换 s 域平移和尺度性质。
（15）
这个题目是通过 Python 中 的 laplace_transform 进行推导化简的， 手工推导实在太复杂了。（我没有敢尝试手工推导）
下面应用 Laplace 变换的性质帮助求解。 先根据三角恒等式
所以
再由 s 域微分性质，可得：
Fs = ((s**2-81)/(s**2+81)**2 + (3*s**2-27)/(s**2+9)**2)/4
result = simplify(Fs)
对上面的表达式进行化简， 可以得到前面相同的表达式。
下面利用数值求解，或者所有的零点和极点。
Fs = nroots(s**6+99*s**4+3484*s**2-45927)
六个零点的数值结果：
八个极点的数值结果：
Fs = nroots(s**8+180*s**6+9558*s**4+131220*s**2+513441)
from sympy.physics.control.lti import TransferFunction
from sympy.physics.control.control_plots import pole_zero_plot
#------------------------------------------------------------
aa,bb,a,t = symbols('alpha, beta,a,t', real=True)
oo = symbols('omega')
s = symbols('s')
tf1 = TransferFunction(s**6+99*s**4+3483*s**3-45927, s**8+180*s**6+9558*s**4+131220*s**2+513441,s)
pole_zero_plot(tf1)
（16）
根据
再根据 s 域的积分性质， 得：
（17）
根据
再根据 s 域的积分性质， 得：
（18）
根据
在根据 s 域内的积分性质，可得：
（19）
三、z变换
◎ 求解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
将双边序列分成左边序列和右边序列， 分别各自求出对应的 z 变换， 然后在相加在一起。
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