信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第10次作业

• 信号与系统 2023年春季作业要求与参考答案汇总
• 信号与系统2022春季作业-第九次作业
• 信号与系统2022春季作业-第十次作业
• 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十次作业

01 基础练习

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一、Laplace反变换

• 注： 下面的 Laplace 反变换都是针对 0- 单边 Laplace 反变换。

1、必做题

2、选做题

二、z 反变换

• 注 ： 下面习题中都是进行 双边 z 反变换。

1、必做题

2、选做题

（1）求解 z 逆变换

（2）利用三种方法求解

  利用三种方法求解下面 $X\left(z\right)$ 的逆变换 $x\left[n\right]$ ：

  注： 三种方法包括：留数方法、因式分解方法、长除方法。

三、Laplace 变换性质

• 本题都是必做题

1、利用 Laplace 性质求 Laplace变换

  （1）

  （2）

  （3）

  （4）

▲ 图1.3.1 右边周期信号

提示： 先求取单个周期 Laplace 变换， 再利用延迟定理。

  （5）

▲ 图1.3.2 周期冲激序列

2、求信号的初值和终值

  已知下列信号的 Laplace 变换 $F\left(s\right)$ ， 在不求出信号 $f\left(t\right)$ 时域表达式的情况下， 利用 Laplace 变换的终值和初值定理， 求出 $f\left(0_{+}\right)$ 和 $f\left(\infty \right)$ 。

提示： （1） 求解过程中需要注意 Laplace 变换初值定理和终值定理条件。 （2） 对于带有 $e^{-s}$ 的表达式， 请运用Laplace的时移定理判断信号的初值和终值。

02 实验作业

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一、通过数值积分进行拉普拉斯反变换

1、利用傅里叶变换求拉普拉斯反变换

  拉普拉斯正变换和逆变换公式如下：

根据拉普拉斯逆变换公式，可以知道 $f\left(t\right)$ 可以使用傅里叶变换的逆变换来完成

所以算法核心是对 $F\left(\sigma +j\omega \right)$ 进行傅里叶反变换，然后乘以 $e^{\sigma t}$ 。

  由于确认变换后的函数 $f\left(t\right)$ 是实函数，所以为了节省计算时间只对傅里叶反变换积分在 $\omega \in \left[0,+\infty \right)$进行积分，通常选择一个有限区间 $\omega \in \left[0,{\omega }_{\max }\right]$ 进行积分。对积分变量的实部取相同的 $\sigma$ ，积分结果乘以 $2$ 得到 $f\left(t\right)$ 。

在实际实现过程中，对于 $\sigma$ 的选择，如果信号时右边信号，只要选择 $\sigma$ 比最右边极点的实部稍微大一点点即可。

2、数值积分

利用梯形积分来实现函数积分，可以获得更精确的积分制，理论分析可知：

其中 $\Delta x=\left(b-a\right)/N$ 以及 $x_i=a+i\cdot \Delta x$ ，那么积分误差上限为

其中 $\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|\le K_2$ ， $x\in \left[a,b\right]$ 。

▲ 图2.1.1 。 提醒积分方法示意图

  计算 $T_N\left(f\right)$ 可以有两种方法：

• 方法1： 对于左、右黎曼积分加权平均

• 方法2：

  实现的代码：

def trapz(f, a, b, N=50):
    x = linspace(a, b, N+1)
    y = f(x)
    y_right = y[1:]
    y_left = y[:-1]
    dx = (b-a) / N
    T = dx/2 * sum(y_right + y_left)
    return T

3、数值计算程序实现

  通过上面提醒积分方法，实现Laplace数值逆变换。具体子程序如下：

#------------------------------------------------------------
def invlt(t, fs, sigma, omiga, nint):
    omigadim = linspace(0, omiga, nint+1, endpoint=True)
    y = [(exp(1j*o*t) * fs(sigma+1j*o)).real for o in omigadim]
    y_left = y[:-1]
    y_right = y[0:]
    T = sum(y_right + y_left) * omiga/nint
    return exp(sigma*t) * T/ pi / 2

#------------------------------------------------------------
def fs(s):
    return 1/(s*s+1)

#------------------------------------------------------------
sigma = 0.2
omiga=200
nint=omiga*50

tdim = linspace(0, 2*pi* 3, 200)
ft = [invlt(t, fs, sigma, omiga, nint) for t in tdim]

4、通过数值计算完成下面拉普拉斯逆变换

  下面通过对一些基本常见函数的laplace变换，来测试一下上述程序的性能。

（1） $\sin \left(t\right)$

sigma=0.2, omiga=200, nint=omiga*50

（2） $e^{-t}$

sigam=-1+0.1, omiga=200, nint=omiga*50

（3） $u\left(t\right)$

（4） $u\left(t-1\right)$

（5） 周期方波信号

（6） 三角形脉冲信号

（7） 三角信号卷积

（8） 周期三角信号

二、利用解卷积进行z反变换

1、卷积与多项式相乘

  计算两个多项式的乘积，可以利用卷积来进行。比如对于由 $a\left[n\right],n=0,1,2,\cdots ,N$ 和 $b\left[n\right],n=0,1,2,\cdots ,M$ 构成系数的两个多项式 $\sum _{i=0}^N{a}_i{z}^{-i}$ ， $\sum _{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}$。它们的乘积

的系数 $c\left[n\right],n=0,1,2,\cdots ,M+N-1$ 可以有 $a\left[n\right],b\left[n\right]$ 的卷积而得到

  那么，从 $c\left[n\right],b\left[n\right]$ 计算 $a\left[n\right]$ ，可以通过解卷积来获得。

2、z反变换与解卷积

在 $z$ 反变换中，利用多项式除法来对有理分式的z变换进行反变换，因此，也可以由有理分式的分子系数，分母的系数通过解卷积的方式来完成多项式的除法。比如对于下面有理分式

它对应的序列为 $x\left[n\right]=0.5^n\cdot u\left[n\right]$ 。 $x\left[n\right]$ 可以通过 $z$ 除以 $z+0.5$ 的多项式的系数来获得。

  利用 scipy.signal.deconvove() 函数来完成数值解卷积。下面给出了对应的代码：

from headm import *
from scipy import signal

num = [0]*20
num[0] = 1
den = [1,0.5]

div, remainder = signal.deconvolve(num, den)
plt.stem(div)

plt.xlabel("n")
plt.ylabel("x[n]")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

▲ 图2.2.1 解卷积的结果

3、求解z反变换

  利用解决及求解下面两个Z反变换：

三、参考文献

• Laplace数值逆运算的讨论
• 逆Laplace数值逆变换

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023年春季作业要求与参考答案汇总
• 信号与系统2022春季作业-第九次作业
• 信号与系统2022春季作业-第十次作业
• 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十次作业
• Laplace数值逆运算的讨论
• 逆Laplace数值逆变换

● 相关图表链接:

• 图1.3.1 右边周期信号
• 图1.3.2 周期冲激序列
• 图2.1.1 。 提醒积分方法示意图
• 图2.2.1 解卷积的结果