信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第三次作业-第二部分

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§00 作业题目

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作业要求链接： 信号与系统 2022 春季学期第三次作业 https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123403423

§01 参考答案（2）

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1.4 求解单位冲激响应

1.4.1 必做题

（1）根据微分方程求解单位冲激响应

 Ⅰ.第一小题

  求解：
$$\frac{d^{2}y\left(t\right)}{d{t}^2}+8\frac{dy\left(t\right)}{dt}+12y\left(t\right)=2\frac{dx\left(t\right)}{dt}$$

  特征方程：${\lambda }^2+8\lambda +12=0$。特征根：${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-6$。

  系统的齐次解：$$y\left(t\right)=c_1{e}^{-2t}+c_2{e}^{-6t}$$

  通过奇异函数匹配方法确定系统的初始条件。

  当输入为$\delta \left(t\right)$，可以知道方程右边最高的奇异函数导数为${\delta }^{\prime }\left(t\right)$。近而可以确定方程左边最高导数想的奇异函数一般表达式为：
$$\frac{d^2}{dt}y\left(t\right)=a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+b\cdot \delta \left(t\right)+c\cdot u\left(t\right)$$
  近而：$$\frac{d}{dt}y\left(t\right)=a\cdot \delta \left(t\right)+b\cdot u\left(t\right)$$

$$y\left(t\right)=a\cdot u\left(t\right)$$

因此：

$$a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+b\cdot \delta \left(t\right)+c\cdot u\left(t\right)+8\cdot \left[a\cdot \delta \left(t\right)+b\cdot u\left(t\right)\right]+12\cdot a\cdot u\left(t\right)=2\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)$$

$$a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+\left(b+8a\right)\delta \left(t\right)+\left(c+8b+12a\right)\cdot u\left(t\right)=2{\delta }^{\prime }\left(t\right)$$
$$\{\begin{array}{c}a=2\\ b+8a=0\\ c+8b+12a=0\end{array}$$

  所以：$$\{\begin{array}{c}a=2\\ b=-16\\ c=104\end{array}$$

  由此可以得到：
$$y^{\prime }\left(0_{+}\right)-y^{\prime }\left(0_{-}\right)=b=-16$$$$y\left(0_{+}\right)-y\left(0_{-}\right)=a=2$$

  系统的起始条件：
$$y^{\prime }\left(0_{+}\right)=-16,y\left(0_{+}\right)=2$$

  求完全解的待定系数：
$$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=2\\ -2c_1-6c_2=-16\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{c}_1=-1\\ c_2=3\end{array}$$

  系统的单位冲击响应：

$$y\left(t\right)=\left(-e^{-2t}+3e^{-6t}\right)\cdot u\left(t\right)$$

 Ⅱ.第二小题：

  求解：
$$\frac{d^2}{d{t}^2}y\left(t\right)+5\frac{d}{dt}y\left(t\right)+4y\left(t\right)=\frac{d}{dt}x\left(t\right)+2x\left(t\right)$$

  特征方程：${\lambda }^2+5\lambda +4=0$，求得特征根：${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-4$。系统的齐次解：$$y\left(t\right)=c_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-4t}$$

  由输入为，$\delta \left(t\right)$，可以知道方程左边最高导数项中的奇异函数为：

$$\frac{d^2}{d{t}^2}y\left(t\right)=a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+b\cdot \delta \left(t\right)+c\cdot u\left(t\right)$$

$$\frac{d}{dt}y\left(t\right)=a\cdot \delta \left(t\right)+b\cdot u\left(t\right)$$

$$y\left(t\right)=a\cdot u\left(t\right)$$

因此：
$$a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+b\cdot \delta \left(t\right)+c\cdot u\left(t\right)+5\cdot \left[a\cdot \delta \left(t\right)+b\cdot u\left(t\right)\right]+\cdot a\cdot u\left(t\right)={\delta }^{\prime }\left(t\right)+2\delta \left(t\right)$$

$$a\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)+\left(b+5a\right)\delta \left(t\right)+\left(c+5b+4a\right)\cdot u\left(t\right)={\delta }^{\prime }\left(t\right)+2\delta \left(t\right)$$

$$\{\begin{array}{c}a=1\\ b+5a=2\\ c+5b+4a=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}a=1\\ b=-3\\ c=11\end{array}$$

$$y^{\prime }\left(0_{+}\right)-y^{\prime }\left(0_{-}\right)=b=-3$$$$y\left(0_{+}\right)-y\left(0_{-}\right)=a=1$$

  系统的起始条件：
$$y^{\prime }\left(0_{+}\right)=-3,y\left(0_{+}\right)=1$$

  求完全解中的待定系数：
$$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=1\\ -c_1-4c_2=-3\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{c}_1=\frac{1}{3}\\ c_2=\frac{2}{3}\end{array}$$

  系统的单位冲击响应：

$$y\left(t\right)=\left(\frac{1}{3}{e}^{-t}+\frac{2}{3}{e}^{-4t}\right)\cdot u\left(t\right)$$

（2）综合分析求解单位冲激响应

  根据卷积的定义：$${\int }_{-\infty }^{\infty }e\left(\tau \right)f\left(t-\tau \right)d\tau =e\left(t\right)\ast f\left(t\right)$$

  所以输入输出方程可以写为：$$\frac{d}{dt}r\left(t\right)+5r\left(t\right)=e\left(t\right)\ast f\left(t\right)-e\left(t\right)$$

  其中$e\left(t\right)$是系统的输入，$r\left(t\right)$是系统的输出。

  由于$\delta \left(t\right)$与$h\left(t\right)$是系统的输入、输出关系，所以他们满足：
$$\frac{d}{dt}h\left(t\right)+5h\left(t\right)=\delta \left(t\right)\ast f\left(t\right)-\delta \left(t\right)=f\left(t\right)-\delta \left(t\right)$$

  再将$f\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)+3\delta \left(t\right)$代入上式，有：$$\frac{d}{dt}h\left(t\right)+5h\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)+2\delta \left(t\right)$$

  可以使用经典的微分方程求解三部曲的方法求解上述微分方程，从而得到系统的单位冲激响应$h\left(t\right)$。

  为了简便，这里引入微分算子求解上述微分方程，考虑到：$$e^{-t}u\left(t\right)=\frac{1}{p+1}\delta \left(t\right)$$

$$\left(p+5\right)h\left(t\right)=\frac{1}{p+1}\delta \left(t\right)+2\delta \left(t\right)$$

$$h\left(t\right)=\frac{1}{p+5}\cdot \frac{1}{p+1}\delta \left(t\right)+\frac{2}{p+5}\delta \left(t\right)$$

$$=\left(\frac{-\frac{1}{4}}{p+5}+\frac{\frac{1}{4}}{p+1}\right)\delta \left(t\right)+\frac{2}{p+5}\delta \left(t\right)$$

  所以：$$h\left(t\right)=\left(\frac{7}{4}{e}^{-5t}+\frac{1}{4}{e}^{-t}\right)u\left(t\right)$$

求解微分方程，可以使用经典的求解过程，也可以利用上面的算子法。实际上到课程后面第五章之后，可以使用拉普拉斯变换来简化微分方程的求解过程。算子法实际上是拉普拉斯变换求解过程。

1.4.2 选做题

（1）第一种求解方法

  由于$$r^{\prime }\left(t\right)=-3r\left(t\right)+e^{-2t}u\left(t\right)$$

  即：$$e^{\prime }\left(t\right)\ast h\left(t\right)=-3e\left(t\right)\ast h\left(t\right)+e^{-2t}u\left(t\right)$$

  将$e\left(t\right)=2e^{-3t}u\left(t\right)$代入上式，有：

$$\left[-6e^{-3t}u\left(t\right)+2e^{-3t}\delta \left(t\right)\right]\ast h\left(t\right)=-6e^{-3t}u\left(t\right)\ast h\left(t\right)+e^{-2t}u\left(t\right)$$

  从而得到：$2\delta \left(t\right)\ast h\left(t\right)=e^{-2t}u\left(t\right)$

  则：$$h\left(t\right)=\frac{1}{2}{e}^{-2t}u\left(t\right)$$

（2）第二种求解方法

  由于$r\left(t\right)=e\left(t\right)\ast h\left(t\right)$，而且：$$-3r\left(t\right)+e^{-2t}u\left(t\right)=\frac{de\left(t\right)}{dt}\ast h\left(t\right)=\frac{dr\left(t\right)}{dt}$$

  所以可以得到一下微分方程：$$\frac{dr\left(t\right)}{dt}+3r\left(t\right)=e^{-2t}u\left(t\right)$$

  此微分方程的齐次解：$r_h\left(t\right)=A\cdot e^{-3t},t>0$

  特解：$r_p\left(t\right)=B\cdot e^{-2t},t>0$

  将特解代入微分方程，有：$-2B{e}^{-2t}+3B{e}^{-2t}=e^{-2t}$，从而可得：$B=1$。

  由于$r\left(t\right)$是零状态响应，而且方程右端没有冲激项（没有奇异函数），所以$r\left(0_{+}\right)=r\left(0_{-}\right)$。由此条件代入：$r\left(t\right)=A{e}^{-3t}+e^{-2t}$。可以求得：$A=-1$。则：$$r\left(t\right)=\left(-e^{-3t}+e^{-2t}\right)u\left(t\right)$$

  将上式$r\left(t\right)$代入前面的方程，可得：$$\left(-e^{-3t}+e^{-2t}\right)u\left(t\right)=e\left(t\right)\ast h\left(t\right)=2e^{-3t}u\left(t\right)\ast h\left(t\right)$$

  引入微分算则，求解该卷积方程：$$\left(\frac{1}{p+2}-\frac{1}{p+3}\right)\delta \left(t\right)=\frac{2}{p+3}\delta \left(t\right)\ast h\left(t\right)$$

  两边同乘以：$\frac{1}{2}\left(p+3\right)$，

  有$$h\left(t\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{p+2}\delta \left(t\right)$$即：$$h\left(t\right)=\frac{1}{2}{e}^{-2t}u\left(t\right)$$

1.5 系统分析

1.5.1 必做题

（1）第一小问

  由于：$$e_2\left(t\right)=\delta \left(t\right)=\frac{d}{dt}u\left(t\right)=\frac{d}{dt}{e}_1\left(t\right)$$
  所以：$$r_{zs2}\left(t\right)=\frac{d}{dt}{r}_{zs1}\left(t\right)$$
  根据题意，于是有：$$r_{zi}\left(t\right)+r_{zs1}\left(t\right)=r_1\left(t\right)=2e^{-t}u\left(t\right)$$

$$r_{zi}\left(t\right)+r_{zs2}\left(t\right)=r_2\left(t\right)=\delta \left(t\right)$$

  上述两个方程（2）-（1）得：$$r_{zs1}^{\prime }\left(t\right)-r_{zs1}\left(t\right)=\delta \left(t\right)-2e^{-t}u\left(t\right)$$

  这是关于系统零状态响应的微分方程。下面求解该微分方程：

  引入算子P,求解上述微分方程：

$$\left(p-1\right)\cdot r_{zs1}\left(t\right)=\left(1-\frac{2}{p+1}\right)\delta \left(t\right)$$

  即：$$r_{zs1}\left(t\right)=\left(\frac{1}{p-1}+\frac{1}{p+1}-\frac{1}{p-1}\right)\delta \left(t\right)$$

$$=\frac{1}{p+1}\delta \left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)$$

  所以，系统的零状态响应为：$$r_{zi}\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)$$

这里的算子方法，实际上就是利用拉普拉斯变换来简化求解微分方程。在第二章还没有讲解具体的算子方法，所以，最后一部分可以使用经典的微分方程求解“三部曲"来完成。

（2）第二小问

  由于 $e_2\left(t\right)=\delta \left(t\right)$，所以：$$r_{zs2}\left(t\right)=h\left(t\right)=r_{zs1}^{\prime }\left(t\right)=\delta \left(t\right)-e^{-t}u\left(t\right)$$

  当$e_3\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)$时：$$r_{zs3}\left(t\right)=e_3\left(t\right)\ast h\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)\ast \left[\delta \left(t\right)-e^{-t}u\left(t\right)\right]$$$$=e^{-t}u\left(t\right)-t\cdot e^{-t}u\left(t\right)$$

  所以完全响应为：$$r_3\left(t\right)=r_{zi}\left(t\right)+r_{zs3}\left(t\right)=\left(2-t\right)\cdot e^{-t}u\left(t\right)$$

1.5.2 选做题

（1）第一小问

(1) 根据题意，可知系统的响应包括有 齐次解和特解，分别是：

$$y_h\left[n\right]=\left(2^n+3\cdot 5^n\right)u\left[n\right],y_p\left[n\right]=10u\left[n\right]$$

  那么，系统的特征跟为：${\alpha }_1=2,{\alpha }_1=5$。

  由此，可以得到系统齐次方程的系数，假设系统输入的一般表达式为：
$$y\left[n\right]-7y\left[n-1\right]+10y\left[n-2\right]=b_{0}x\left[n\right]+b_{1}x\left[n-1\right]+b_{2}x\left[n-2\right]$$

  引入延迟算子$E$，则差分方程可以写做：

$$y\left[n\right]=\frac{b_0{E}^2+b_{1}E+b_2}{E^2-7E+10}x\left[n\right]$$

  对于输入信号$x\left[n\right]=u\left[n\right]$，对应算子为：$$x\left[n\right]=\frac{E}{E-1}\delta \left[n\right]$$

$$y\left[n\right]=\frac{b_0{E}^2+b_{1}E+b_2}{E^2-7E+10}\cdot \frac{E}{E-1}\delta \left[n\right]$$$$=\left(\frac{\frac{b_0+b_1+b_2}{4}E}{E-1}+\frac{\frac{4b_0+2b_1+b_2}{-3}E}{E-2}+\frac{\frac{25b_0+5b_1+b_2}{12}E}{E-5}\right)\delta \left[n\right]$$$$=\left(\frac{4b_0+2b_1+b_2}{-3}{2}^n+\frac{25b_0+5b_1+b_2}{12}{5}^n+\frac{b_0+b_1+b_2}{4}\right)u\left[n\right]$$

  再根据已知的：$$y\left[n\right]=\left(2^n+3\cdot 5^n+10\right)u\left[n\right]$$

  对比前面的算子表达式，可得：

$$25b_0+5b_1+b_2=36$$$$4b_0+2b_1+b_2=-3$$$$b_0+b_1+b_2=40$$
  解方程，求得：
$$b_0=14,b_1=-85,b_2=111$$

  所以系统的差分方程为：

$$y\left[n\right]-7y\left[n-1\right]+10y\left[n-2\right]=14x\left[n\right]-85x\left[n-1\right]+111x\left[n-2\right]$$

（2）第二小问

  根据线性是不变系统的特性可知：

  当输入为$x_1\left[n\right]=u\left[n-10\right]$时，输出为：$$y_1\left[n\right]=\left[2^{n-10}+3\cdot 5^{n-10}+10\right]u\left[n-10\right]$$

  当输入为：$x_2\left[n\right]=2u\left[n\right]$时，输出为：$$y_2\left[n\right]=2y\left[n\right]=2\left[2^n+3\cdot 5^n+10\right]u\left[n\right]$$

  所以当输入为： x [ n ] = 2 { u [ n ] − u [ n − 10 ] } x\left[ n \right] = 2\left\{ {u\left[ n \right] - u\left[ {n - 10} \right]} \right\} x[n]=2{ u[n]−u[n−10]} 时的系统输出为：

$$y\left[n\right]=2\left\{\left[2^n+3\cdot 5^n+10\right]u\left[n\right]-\left[2^{n-10}+3\cdot 5^{n-10}+10\right]u\left[n-10\right]\right\}$$