780. 到达终点 : 数论推理分析题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 780. 到达终点 ，难度为 困难。

Tag : 「数学」

给定四个整数 sx，sy，tx 和 ty，如果通过一系列的转换可以从起点  $(sx, sy)$ 到达终点  $(tx, ty)$，则返回 true，否则返回 false。

从点  $(x, y)$ 可以转换到  $(x, x+y)$  或者  $(x+y, y)$。

示例 1:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 3, ty = 5

输出: true

解释:
可以通过以下一系列转换从起点转换到终点：
(1, 1) -> (1, 2)
(1, 2) -> (3, 2)
(3, 2) -> (3, 5)
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示例 2:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 2, ty = 2 

输出: false
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示例 3:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 1, ty = 1 

输出: true
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提示:

• $1 <= sx, sy, tx, ty <= 10^9$

数学

给定的 $(sx, sy)$ 的数据范围为 $[1, 10^9]$（即均为正整数），且每次转换，只能将另外一维的数值累加到当前维，因此对于每一维的数值而言，随着转换次数的进行，呈（非严格）递增趋势，再结合起始值为正整数，可知在转换过程中均不会出现负数。

由此得知从 $(tx, ty)$ 到 $(sx, sy)$ 的转换过程唯一确定：总是取较大数减去较小数来进行反推（否则会出现负数）。

但即使反向转换唯一确定，数据范围为 $10^9$，线性模拟仍会超时。

我们考虑将「相同操作的连续段转换动作」进行合并，在某次反向转换中，如果有 $tx < ty$，我们会将 $(tx, ty)$ 转换为 $(tx, ty - tx)$，若相减完仍有 $tx < ty - tx$，该操作会继续进行，得到 $(tx, ty - 2 * tx)$，直到不满足 $tx < ty - k * tx$，其中 $k$ 为转换次数。

即对于一般性的情况而言， $(tx, ty)$ 中的较大数会一直消减到「与较小数的余数」为止。

因此我们可以先使用 $O(\log{max(tx, ty)})$ 的复杂度将其消减到不超过 $(sx, sy)$ 为止。此时如果消减后的结果 $(tx, ty)$ 任一维度小于 $(sx, sy)$，必然不能进行转换，返回 False；如果任一维度相等（假定是 $x$ 维度），则检查另一维度（ $y$ 维度）的差值，能够由当前维度（ $x$ 维度）拼凑而来。

代码：

class Solution {
    public boolean reachingPoints(int sx, int sy, int tx, int ty) {
        while (sx < tx && sy < ty) {
            if (tx < ty) ty %= tx;
            else tx %= ty;
        }
        if (tx < sx || ty < sy) return false;
        return sx == tx ? (ty - sy) % tx == 0 : (tx - sx) % ty == 0;
    }
}
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• 时间复杂度： $O(\log{\max(tx, ty)})$
• 空间复杂度： $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.780 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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