双曲守恒律的ENO格式和WENO格式

问题描述

考虑下述Burgers方程的初值问题

{\begin{aligned} u_{t} + (u^{2} / 2)_{x} = 0 & - 1 \leq x \leq 1, t > 0 \\ u (x, 0) = u_{0} (x) = sin (π x) \\ p e r i o d i c B . C . f o r x \end{aligned}

$\label{q} \left \{ \begin{aligned} & u_t + (u^2/2)_x = 0 & -1\leq x \leq 1,t>0\\ & u(x,0) = u_0(x) = \text{sin}(\pi x ) & \\ &periodic ~~B.C. ~~for ~~x \end{aligned} \right.$

分别使用有限体积法4阶ENO格式，有限体积法3阶和5阶WENO方法求解。时间方向用三阶TVD
Runge-Kutta方法。研究格式在解光滑情况下和有间断的情况下的数值精度并作图。

关键算法和格式描述

精确解

为了计算数值精度，必须要有精确解。对于精确解的产生，我们采用两种方式。

当时间比较短，解还比较光滑时，特征线交错情况比较简单时，我们使用特征线方法求解精确解。
对于上述黎曼问题的精确解，我们用特征线方法来求解精确值。过某个初值点 $(x_0,0)$ 的特征线是一根直线，它的斜率为 $u_0(x)$ ，那么给定一点 $(x_1,t_1)$ ，我们知道它满足，

\frac{x_{1} - x_{0}}{t_{1}} = u_{0} (x_{0}) = sin (π x_{0}) .

$\frac{x_1-x_0}{t_1} = u_0(x_0) = \text{sin}(\pi x_0).$
求得

x_{0}

$x_0$ 后，我们可以得到在

(x_{1}, t_{1})

$(x_1,t_1)$ 点处的值为

u_{0} (x_{0})

$u_0(x_0)$ 。
需要注意的是，matlab的solve函数主要是用于多项式求根，对于非线性方程来说，也可以求，但是往往只给出一个最小解。在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程（即多项式）的解,但是也不是说其它方程一个也不能解，不过求解非代数方程的能力相当有限，通常只能给出很特殊的实数解。

第二种方法，精确解采用5阶WENO格式的小步长逼近作为相对近似精确解，这也只是相对而言的精确解。将精确解保存为mat 格式调用（不同步长取对应点）。

5阶WENO格式

空间上采用五阶WENO格式，时间上采用三阶Runge Kutta格式，具体操作描述如下：

空间离散

将空间定义域等分，取每个等分区间上中点的初值作为该区间的初值（不是计算等分节点的值）。那么，N等分就有N个值，对这N个值编号，不妨记为 $u_i$ ，使用WENO格式计算下一时间层的值。

Lax-Friedrichs通量分裂

使用Lax-Friedrichs，进行通量分裂，如下：

{\hat{f}}_{j + 1 / 2} = \frac{1}{2} (f (u_{j}) + α u_{j}) + \frac{1}{2} (f (u_{j + 1}) - α u_{j + 1})

$\hat{f}_{j+1/2} = \frac{1}{2}(f(u_j)+\alpha u_j) + \frac{1}{2}(f(u_{j+1})-\alpha u_{j+1})$
其中，

α = max (| f^{'} (u_{i}) |)

$\alpha = \text{max}(|f'(u_i)|)$ ，这个值随着

u_{i}

$u_i$ 的变化而变化。定义左值

u_{j + 1 / 2}^{+} = \frac{1}{2} (f (u_{j}) + α u_{j})

$u^+_{j+1/2} = \frac{1}{2}(f(u_j)+\alpha u_j)$ ，定义右值

u_{j + 1 / 2}^{-} = \frac{1}{2} (f (u_{j + 1}) - α u_{j + 1})

$u^-_{j+1/2} = \frac{1}{2}(f(u_{j+1})-\alpha u_{j+1})$ ，下面要做的就是对这些左右值进行重构更新，再合成通量，求得空间算子。

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原函数方法重构左值右值

下面以右值 $u^-_{j+1/2}$ 的重构更新为例（左值的重构与右值呈镜像对称（系数等），不再详述），来说明重构过程。为描述方便，用 $v_{i}$ 来表示右值集合 $u^-_{j+1/2}$ 。

选择不同的模板，计算不同模板下的重构值，采用如图所示的模板，计算得的对应模板的三个重构值如下：

$\begin{aligned} v_{i}^{(0)} & = & (2 v_{i - 2} - 7 v_{i - 1} + 11 v_{i}) / 6 \\ v_{i}^{(1)} & = & (- v_{i - 1} + 5 v_{i} + 2 v_{i + 1}) / 6 \\ v_{i}^{(2)} & = & (2 v_{i} + 5 v_{i + 1} - v_{i + 2}) / 6 \end{aligned}$ $\begin{aligned} v_{i}^{(0)} &=& (2v_{i-2}-7v_{i-1}+11v_i)/6 \\ v_{i}^{(1)} &=& (-v_{i-1}+5v_{i}+2v_{i+1})/6 \\ v_{i}^{(2)} &=& (2v_{i}+5v_{i+1}-v_{i+2})/6\end{aligned}$
计算三个模板得到的重构值对应的权重，逆向罗列公式如下（ $k=3$ ）：

$\begin{aligned} w_{r} & = & \frac{α_{r}}{\sum_{r = 0}^{k - 1} α_{r}} \\ α_{r} & = & \frac{d_{r}}{(10^{- 6} + β_{r})^{2}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} w_r &=& \frac{\alpha_r}{\sum\limits_{r=0}^{k-1}{\alpha_r}} \\ \alpha_r &=& \frac{d_r}{(10^{-6} + \beta_r)^2} \end{aligned}$

对于五阶WENO格式，有： $d_0 = 0.3,d_1 = 0.6,d_2 = 0.1$ ，且 $\beta_r$ 可表达为：

$\begin{aligned} β_{0} & = & \frac{13 {(v_{i} - 2 v_{i - 1} + v_{i - 2})}^{2}}{12} + \frac{{(3 v_{i} - 4 v_{i - 1} + v_{i - 2})}^{2}}{4} \\ β_{1} & = & \frac{{(v_{i - 1} - v_{i + 1})}^{2}}{4} + \frac{13 {(v_{i - 1} - 2 v_{i} + v_{i + 1})}^{2}}{12} \\ β_{2} & = & \frac{13 {(v_{i} - 2 v_{i + 1} + v_{i + 2})}^{2}}{12} + \frac{{(3 v_{i} - 4 v_{i + 1} + v_{i + 2})}^{2}}{4} \end{aligned}$ $\begin{aligned} \beta_0 &=& \frac{13\, {\left(v_{i} - 2\, v_{i-1} + v_{i-2}\right)}^2}{12} + \frac{{\left(3\, v_{i} - 4\, v_{i-1} + v_{i-2}\right)}^2}{4}\\ \beta_1 &=&\frac{{\left(v_{i-1} - v_{i+1}\right)}^2}{4} + \frac{13\, {\left(v_{i-1} - 2\, v_{i} + v_{i+1}\right)}^2}{12} \\ \beta_2 &=&\frac{13\, {\left(v_{i} - 2\, v_{i+1} + v_{i+2}\right)}^2}{12} + \frac{{\left(3\, v_{i} - 4\, v_{i+1} + v_{i+2}\right)}^2}{4} \end{aligned}$
更新最后的左值为各个值的加权平均：即 $u_{i+1/2}^{+} = \hat v_{i} = \sum\limits_{r=0}^{k-1}{w_r v_i^{(r)}}$ 。
同相同的方法重构左值。原来从左到右计算的，重构左值时从右到左。

空间算子和时间三阶Runge Kutta方法

通过如上方法，计算得到更新后的左值和右值，取左值和右值的和为通量函数近似，即：

f_{j + 1 / 2} = u_{j + 1 / 2}^{+} + u_{j + 1 / 2}^{-} .

$f_{j+1/2} = u_{j+1/2}^{+} + u_{j+1/2}^{-}.$

那么，可以得到空间离散算子的作用结果，即：

L (u_{i}) = - d f / d x = - (f_{i + 1 / 2} - f_{i - 1 / 2}) / △ x

$L(u_i) = - df/dx = - (f_{i+1/2} - f_{i-1/2})/\triangle x$

有了空间离散算子，我们就在时间上使用三阶Runge-Kutta方法，求解下一时间层的值。

这里写图片描述

3阶WENO格式

三阶的WENO格式（k=2）和五阶的WENO格式（k=3）操作方法是类似的，所不同的是，在重构通量左右值时所用的模板和系数是不同的。一般来说，对于 $2k-1$ 阶的WENO格式，所用的模板（具有对称性），共有 $k$ 个：

S_{r} (i) = {x_{i - r}, \dots, x_{i - r + k - 1}}, r = 0, \dots, k - 1.

$S_r(i) = \{x_{i-r},\dots,x_{i-r+k-1}\},r = 0,\dots,k-1.$
其上重构值的系数（

u_{i + 1 / 2}^{(r)} = \sum_{j = 0}^{k - 1} C_{r j} u_{i - r + j}

$u_{i+1/2}^{(r)} = \sum\limits_{j=0}^{k-1}{C_{rj}u_{i-r+j}}$ ），有人总结成了如下表格（右值）。

这里写图片描述

且对于k比较小时， $d_r,\beta _r$ 有如下结果：

这里写图片描述

4阶ENO格式

ENO格式和WENO格式的过程大部分是类似的，不同的是，ENO格式左右值的重构，不需要计算全部模板下的重构值后取加权平均，而只要选取其中的某一个模板作为计算左右值重构即可，选取的准则为使差商最小。具体的算法描述如下。

这里写图片描述

模板的重构系数 $C_{rj}$ 同前表格（k = 4）。

计算结果展示和讨论

三种格式对于光滑解数值精度

五阶WENO格式

对于一个空间k阶格式，时间上是三阶龙格库塔格式，我们得保证， $\frac{(\Delta t)^3}{(\Delta x)^k}$ 是一个常值，或者让时间因素相比于空间因素，对结果造成的很小。换言之，若固定了空间步长，我们可以这样选取时间步长：

Δ t = Constant * (Δ x)^{k / 3} .

$\Delta t = \text{Constant}*(\Delta x)^{k/3}.$
这里，Constant是一个常数，它的选取应该使得时间空间步长满足CFL条件：

Δ t / Δ x * α = C F L, α = max | f^{'} (u) |

$\Delta t/ \Delta x * \alpha = CFL,\alpha = \text{max}|f'(u)|$ 。

选取终止时间为0.1，解依然是连续的。此时，空间上使用五阶WENO格式，时间上采用三阶Runge
Kutta格式，进行了数值实验，最后得到了如下结果，时间关系，程序上的相关的参数设定和细节处理就不再详述了，见程序。得到的结果如下表：
这里写图片描述

三阶WENO格式

仿照五阶WENO格式，依然选择终止时间为0.1，得到的结果如下表：
这里写图片描述

收敛阶好像不是太稳定，我也不知道为什么呀。

四阶ENO格式

四阶ENO格式，在解连续的情况下，得到的结果如下表：有些小问题。为了减小时间方向带来的影响，设置Courant系数尽量小。
这里写图片描述

三种格式对于间断解的数值精度

从数值格式中，并没有看到解随着时间的推移变得间断（lusongno1.cn），所以这个间断是什么意思，没明白。下面我假设在t足够大时，如 $t=3$ ，解开始断开。我们来研究解在有间断的情况下的数值精度。这里的真解采用WENO5格式在空间步长为2000的情况下的解。

五阶WENO格式

这里写图片描述

三阶WENO格式

这里写图片描述

四阶ENO格式

不知道是否精确解求解有问题，以上三种格式在解间断时只能达到一阶精度。
这里写图片描述

程序源码和其他话

源代码见附件，使用的语言为MAMTLAB2014a（盗版）,Windows 10环境。

一些小体会：

Matlab巧用shiftcirt函数，来处理周期边界问题是特别棒的事情。
知道如何进行右值重构后，再进行计算左值重构，我们没必要考虑系数的镜像对称关系。一个简单的做法是，将左值反向排列，然后同样用计算右值的程序计算一遍，得到的结果最后再转个方向即可。
CFL迎风条件： dt/dx * alpha = CFL
对于均匀网格，使用重构系数表 $C_{rj}$ ，重构值直接用已有值使用系数表线性表出，而省去了插值的过程，提高计算速度，代价是泛化能力差。也就是说k变化时，你得重新写一遍系数。
初值点的选取，选的不是等分节点处，而是选取单元中点处。使用单元中点值表示这个单元的值。
对这些格式，在有些步长下能得到相应的收敛阶，而在有的步长下不能。应该考虑时间步长和空间步长谁是主导因素，主导因素是否会发生转移。

参考文献
Shu C W. Numerical methods for hyperbolic conservation
laws[J]. Lecture notes (AM257), 2006.
Shu C W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws[M]//Advanced numerical approximation of nonlinear hyperbolic equations. Springer Berlin Heidelberg, 1998:
325-432.
Jiang G S, Shu C W. Efficient implementation of weighted ENO
schemes[J]. Journal of computational physics, 1996, 126(1): 202-228.

额，双曲守恒律

双曲守恒律的ENO格式和WENO格式

问题描述

关键算法和格式描述

精确解

5阶WENO格式

空间离散

Lax-Friedrichs通量分裂

原函数方法重构左值右值

空间算子和时间三阶Runge Kutta方法

3阶WENO格式

4阶ENO格式

计算结果展示和讨论

三种格式对于光滑解数值精度

五阶WENO格式

三阶WENO格式

四阶ENO格式

三种格式对于间断解的数值精度

五阶WENO格式

三阶WENO格式

四阶ENO格式

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