间断初值双曲守恒问题的Lax-Friedrichs和后向欧拉数值解法
我们用求解PDE常用的Backwand Euler和Lax-Friedrichs数值方法来求解如下双曲问题:
首先回顾一下双曲问题中一些经典的有限差分格式：
- 该黎曼问题的精确解为：
计算精确解Matlab代码：
function u = ExSolu( x, t )
%计算精确解，这里x支持向量输入，输出多个精确解
a = 1;%设置a为1
u = zeros(size(x));%初始化u
u((x-a*t)<=0) = 1;%真解计算
end- Lax-Friedrichs数值求解格式和代码如下：
function u = LaxF(u0, xx, dx, dt, Nt)
% LaxF(u0, xx, dx, dt Nt): u0-initial values; xx-coordinates;
nx = length(u0);%空间节点数
r = dt/dx; a = 1; ar = a*r;
u = u0; un = zeros(size(u));%要计算的值初始化（新一层）
for it =1:Nt
% for j=2:nx-1 %内部节点遍历
% un(j) = (1-ar)/2 * u(j+1) + (1+ar)/2 * u(j-1);
% end
%上述循环可以替换为以下，以节省时间
jj=2:nx-1;
un(jj) = (1-ar)/2 * u(jj+1) + (1+ar)/2 * u(jj-1);
t = it*dt;%时间标记
un(1) = 1;%左边界条件
un(nx) = 0;%右边界条件
u = un;%只保留两层的值就够了
end- 隐式欧拉格式：
写成三对角如下：
相应的Matlab代码：
function u = BwdE(u0, xx, dx, dt, Nt)
%u0为初值，xx为空间划分，dx为空间步长，dt为时间步长，Nt为时间点数
nx = length(u0);%空间节点数
r = dt/dx; a = 1; ar = a*r;
d = ones(nx-2, 1); d1 = -ar/2 * d; d2 = ar/2 * d;
A = spdiags([d1 d d2], -1:1, nx-2, nx-2);%使用spdiags生成（nx-2）*（nx-2）三对角
u = u0; ur = u(:);
for it = 1:Nt
% set boundary values;
t = it*dt;%时间标度，就是说计算到哪了
u(1) = ExSolu(xx(1), t);%计算精确解的边界条件，这和数值解的边界条件是一致的
u(nx) = ExSolu(xx(nx), t);
ur(2:nx-1) = u(2:nx-1);%计算右端项
ur(2) = ur(2) + ar/2 * u(1);%将左边加的那一项挪到右边来求解
ur(nx-1) = ur(nx-1) - ar/2 *u(nx);
u(2:nx-1) = A\ur(2:nx-1);
end
end- 误差计算
我们可以计算两种格式的误差和收敛阶，我们这里使用
- 主函数：
%% 1. Set initial value; run the solver; plot the solution
clc
clear
scheme = 'LaxF';%选择后向欧拉格式
Nt = 200;%设置空间步
t0 = 0; tf = 1; dt = (tf - t0)/Nt;
x1 = -2; x2 = 2; r = 0.5; dx = dt/r;%网格比设置为0.5
xx = x1:dx:x2;%空间划分
u0 = ExSolu(xx, 0);%求解初值，离散初值满足真解
uex = ExSolu(xx, tf);%tf时间后的真值
%u = LaxF(u0, xx, dx, dt, Nt);
u = eval([scheme '(u0, xx, dx, dt, Nt)']);
plot(xx, uex, 'r-', xx, u, 'g-');
ymin = min(u) - 0.1; ymax = max(u) + 0.1;
axis([x1, x2, ymin, ymax]);
xlabel('x'); ylabel('u');
legend('Exact Solution', scheme, 'Location', 'SouthWest');
title('Lax-Friedrichs scheme: t=1');
%% 误差计算
ne = 5;%次数
E = zeros(ne,1); Order=zeros(ne,1);%误差和收敛阶初始化
for in = 1:ne
Nt = 100*2^(in-1);%时间步长两倍增长
t0 = 0; tf = 1; dt = (tf - t0)/Nt;
x1 = -2; x2 = 2; r = 0.5; dx = dt/r;
xx = x1:dx:x2;
u0 = ExSolu(xx, 0);
uex = ExSolu(xx, tf);
%u = LaxF(u0, xx, dx, dt, Nt);
u = eval([scheme '(u0, xx, dx, dt, Nt)']);
E(in) = sum(abs(u-uex)) * dx;%计算L1误差
if in>1
Order(in) = log(E(in-1)/E(in))/log(2);
end
end
通过计算收敛阶，我们可以知道，这两个非守恒的格式收敛阶皆为0.5。
tip：1、在使用matlab内置求解方程组时，用
A\b比inv(A)*b速度要快。2、在matlab中，尽量避免用循环，而改用矩阵和向量运算。3、spdiags函数可以生成三对角。4、使用eval函数，将字符串作为命令运行，对于文件操作很有效。5、我们用的Matlab都是盗版的，如果不想用盗版的，可以用Octave替代，它是开源的。