红黑树的概念及性质
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的
注：
- AVL树：左右高度差不超过1，严格平衡
- 红黑树：最长路径不超过最短路径的2倍，近似平衡
红黑树的性质：
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的 （树里面没有连续的红节点）
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点 （每条路径都有相同数量的黑色节点）
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)（这里的叶子节点是空节点——NIL节点）
注：
- 红黑树中最短路径：全是黑色节点
- 红黑树中最长路径：一黑一红交替出现
- 红黑树查找的时间复杂度O(logN)，红黑树没有AVL树查找的速度快，但是速度是很接近的，只是AVL树在删除和插入时旋转次数偏多，这样会导致效率较低；而红黑树删除和插入时旋转次数较少，因此效率会有所提升。
- 在实际应用中，红黑树比AVL树应用较广
红黑树保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍，主要是因为 红黑树中最短路径是全是黑色节点；红黑树中最长路径是一黑一红交替出现
红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
- 按照二叉搜索的树规则插入新节点
【手撕STL】二叉搜索树 - 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
- 情况一: 新增节点的父亲是黑色的，则不需要处理
- 情况二: 新增节点的父亲节点是红色的，则产生连续红色节点，需要分情况处理：（cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点）
-
- cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
注：
- 处理完这种情况后需要继续向上调整
- 处理完之后注意根节点的颜色，根节点必须是黑色
-
- cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑
说明:u的情况有两种：
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4:每条路径黑色节点个数相同。
⒉.如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。
解决方式：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。最终p、g变色–p变黑，g变红
-
- cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑
解决方式：p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，则转换成了情况2（指的是第二种情况）
注：插入新节点的颜色是红色，如果默认是黑色那么会破坏规则四（每条路径上的黑色节点数相同），而默认是红色的话可能会破坏规则三（不能有连续两个红色节点），因此选择默认红色节点更优
综上代码实现：
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
// 新增节点，颜色是红色，可能破坏规则3，产生连续红色节点
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制近似平衡
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandparent = parent->_parent;
if (grandparent->_left == parent)
{
Node* uncle = grandparent->_right;
// 情况一：uncle存在且为红，进行变色处理，并继续往上更新处理
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
cur = grandparent;
parent = cur->_parent;
}
// 情况二+三：uncle不存在，或者存在且为黑，需要旋转+变色处理
else
{
// 情况二：单旋+变色
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandparent);
grandparent->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
// 情况三：双旋 + 变色
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandparent);
cur->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
}
break;
}
}
else// (parent == grandfather->_right)
{
Node* uncle = grandparent->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
cur = grandparent;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandparent);
grandparent->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandparent);
cur->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
为了更加直观，下面是以升序，降序和随机构建一颗红黑树的动画：
- 以升序插入构建红黑树：
- 以降序插入构建红黑树：
- 随机插入构建红黑树：
从上面三张动画效果中，可以很直观的看出，红黑树在各种情况下都能维护良好的平衡性，从而能够保证最差情况下的查找，插入效率。
红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质;
-
- 性质一、二用if语句就能判断
-
- 性质三用递归实现（如果该节点是红色的，那么验证该节点的父节点是否为红色，来判断是否满足性质三）
-
- 性质四用递归来实现（思路：计算其中一条路径黑色节点的个数，如果该树中其中一条路径不与该路径的黑色节点数一致，则不满足，否则满足）
代码实现：
bool CheckRedRed(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
return false;
return CheckRedRed(root->_left) && CheckRedRed(root->_right);
}
bool CheckBlackNum(Node* root, int blacknum, int benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
if (blacknum != benchmark)
return false;
return true;
}
if (root->_col == BLACK)
blacknum++;
return CheckBlackNum(root->_left, blacknum, benchmark) && CheckBlackNum(root->_right, blacknum, benchmark);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
int benchmark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
benchmark++;
cur = cur->_left;
}
int blacknum = 0;
return CheckRedRed(_root->_left) && CheckRedRed(_root->_right) && CheckBlackNum(_root, blacknum, benchmark);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(
logN)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
红黑树的应用
- C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
红黑树的代码实现
enum Color
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_col(RED)
{
}
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Color _col;
};
template<class K,class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = cur;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
// 新增节点，颜色是红色，可能破坏规则3，产生连续红色节点
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制近似平衡
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandparent = parent->_parent;
if (grandparent->_left == parent)
{
Node* uncle = grandparent->_right;
// 情况一：uncle存在且为红，进行变色处理，并继续往上更新处理
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
cur = grandparent;
parent = cur->_parent;
}
// 情况二+三：uncle不存在，或者存在且为黑，需要旋转+变色处理
else
{
// 情况二：单旋+变色
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandparent);
grandparent->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
// 情况三：双旋 + 变色
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandparent);
cur->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
}
break;
}
}
else// (parent == grandfather->_right)
{
Node* uncle = grandparent->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
cur = grandparent;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandparent);
grandparent->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandparent);
cur->_col = BLACK;
grandparent->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
return;
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* cur = parent->_parent;
subL->_right = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
parent->_parent = subL;
}
else
{
if (cur->_left == parent)
{
cur->_left = subL;
subL->_parent = cur;
parent->_parent = subL;
}
else
{
cur->_right = subL;
subL->_parent = cur;
parent->_parent = subL;
}
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
return;
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* cur = parent->_parent;
subR->_left = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
parent->_parent = subR;
}
else
{
if (cur->_left == parent)
{
cur->_left = subR;
subR->_parent = cur;
parent->_parent = subR;
}
else
{
cur->_right = subR;
subR->_parent = cur;
parent->_parent = subR;
}
}
}
bool CheckRedRed(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
return false;
return CheckRedRed(root->_left) && CheckRedRed(root->_right);
}
bool CheckBlackNum(Node* root, int blacknum, int benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
if (blacknum != benchmark)
return false;
return true;
}
if (root->_col == BLACK)
blacknum++;
return CheckBlackNum(root->_left, blacknum, benchmark) && CheckBlackNum(root->_right, blacknum, benchmark);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
int benchmark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
benchmark++;
cur = cur->_left;
}
int blacknum = 0;
return CheckRedRed(_root->_left) && CheckRedRed(_root->_right) && CheckBlackNum(_root, blacknum, benchmark);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root=nullptr;
};
红黑树的查找跟二叉搜索树一样【手撕STL】二叉搜索树