AcWing算法——二分算法
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前言
我们今天进入到二分算法，之前总结了快速排序和归并排序的模板，没有细分其中数据到底是什么类型，今天的二分算法我们根据数据的类型分为两个模板（整数二分，浮点数二分），每个模板都有自己适应的情况，大家可以根据题目的不同选择不同的模板进行套用。
一、二分基本概念
二分的重点是求边界而不是单调性，在讲二分之前必须明白这一点，很多人认为最重要的是单调性但是y总也详细分析了，二分的本质是边界。有单调一定可以二分，但是没有单调也可能使用二分。我们将二分分为了整数二分和浮点数二分两种，并且对这两种情况都会分享对应的模板。
二、整数二分
2.1 整数二分思路
我们先在左边的区域找右边界
1.先写一个check函数，这个函数的目的是用来判断mid是否符合该区间的性质，然后根据判断的结果来确定边界的位置在哪里
2.判断左边区域右边界，找到mid，如果mid符合这个区域的性质那么就说明mid在这个右边界的左边也就是说mid在这个区域内，我们要找边界就要在mid的右边找，所以范围就变成了[mid,r]。
如果check函数判断是false，说明mid不符合这个区域的性质，那么右边界就在mid的左边，mid不符合所以我们区间调整为[l,mid-1].
然后我们在右边的区域找左边界，找的方法是一样的，但是一定注意边界的改变。
2.2 整数二分图示
2.3 整数二分模板
bool check(int x) {
/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
2.4 练习题目—数的范围
2.5 题目解法代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int q[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&q[i]);
while(m--)
{
int x;
scanf("%d",&x);
int l=0;int r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(q[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(q[l]!=x) cout<<"-1 -1"<<endl;
else
{
cout<<l<<' ';
int l=0;int r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=l+r+1>>1;
if(q[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;
}
}cout<<l<<endl;
}
return 0;
}
三、浮点数二分
3.1 浮点数二分图示
3.2 浮点数二分模板
bool check(double x) {
/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
总结
今天分享了二分的两个两个模板，分别应对整数的情况和浮点数的情况，相对而言整数的情况更难处理，因为有边界问题需要注意，但是浮点数就更简单了，不存在边界问题，只要保证我们的答案在所取区间内部，然后一直二分直到满足精度就表示找到了，希望我的博客对大家有所帮助，欢迎大家在评论区畅所欲言~