2.3 疑义熵

一. 信道中引入随机性

通信的双方有Alice和Bob，链接的信道矩阵为 $H_A$ ，由此可引入 $f(H_A)$ 随机性，使其满足如下等式：

$\begin{cases}H_A\cdot f(H_A)=0\\ \bar {H_A} \cdot f(H_A) \not= 0 \end{}$

上式中 $\bar{H_A}$ 是除了 $H_A$ 的其他任何方向。根据此方程对于 $f(H_A)$ 的理解， $f(H_A)$ 可以看成 $H_A$ 的零空间，只有准确估计出 $H_A$ 才能够将此随机性消除。由此可得：

$f(H_A)=V_A^{(0)}\cdot \omega_R$

上式中， $V_A^{(0)}$ 可以看成 $H_A$ 的零空间的基底（basis），此基底也是依据 $H_A$ 设计得到的； $\omega_R$ 为随机矩阵。

根据2004年提出的迫零算法(zero-forcing），可对信道矩阵进行奇异值分解（SVD)，分解可得如下：

$H_A=\mu_A\begin{bmatrix} I_A&0\\0&0\end{}\begin{bmatrix}V_A^{(1)}&V_A^{(0)} \end{}^*$

正常的接收方运算如下：

$\begin{align*} y_A&=H_A[I+f(H_A)]x_A+n_A\\ &=H_Ax_A+H_Af(H_A)x_A+n_A\\&=H_Ax_A+H_A\cdot V_A^{(0)}\cdot \omega_R\cdot x_A+n_A\\&=H_Ax_A+0+n_A\\&=H_Ax_A+n_A\end{align}$

窃听端的运算中会始终存在干扰项，如下：

$\begin{align*}y_E&=H_E[I+f(H_A)]x_A+n_E\\&=H_Ex_A+H_E\cdot f(H_A)x_A+n_E \end{}$

基于奇异值分解，预编码方案的设计如下：

$\begin{align*}\mu_A^*y_A&=\mu_A^*(H_Ax_A+H_Af(H_A)x_A+n_A) \\ &=\mu_A^*(\mu_AI_A\cdot v_A^{(1)}x_A+\mu_AI_Av_A^{(1)}f(H_A)\cdot x_A+n_A)\\&=I_A\cdot v_A^{(1)}x_A+I_Av_A^{(1)}f(H_A)\cdot x_A+\mu_A^*n_A\\&=I_A\cdot v_A^{(1)}[I+f(H_A)]x_A+\mu_A^*n_A\end{}$