孩子兄弟表示法：每个节点都有数据域、孩子域、兄弟域，要是一个节点有多个孩子节点，那就让它的孩子域指向第一个孩子节点，它的第一个孩子节点跟它的第二个孩子节点又是兄弟关系，那么第一个孩子节点的兄弟域指向第二个孩子节点，第二个孩子节点又跟第三个孩子节点又是兄弟关系，让第二个孩子节点的兄弟域指向第三个孩子节点，依次这样。

2.二叉树

2.1 二叉树的概念

概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

每个结点最多有两棵子树（左、右子树），即二叉树不存在度大于2的节点。（度最多为2）
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

注：当一棵树的每个节点的度小于或等于二时，此树都为二叉树。当没有节点时也为二叉树

二叉树每个节点只可能为以下几种情况：

2.2 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为 h，且结点总数是 (2^h) -1 ，则它就是满二叉树

完全二叉树：一棵二叉树的高度为 h，当它的 h-1 层都是满的。最后一层不是满的，但是最后一层从左往右是连续的，这样的一颗二叉树便是完全二叉树（满二叉树是特殊的完全二叉树）

2.3 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点
若规定根节点的层数为1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 (2^h)- 1
对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2 +1
若规定根节点的层数为1，具有 n 个结点的满二叉树的深度h为 h=log₂n+1
具有n个结点的完全二叉树的深度h为 h=log₂(n+1)上取整
将一个完全二叉树从上至下从左至右的顺序依次存储在数组，除了根节点也就是0下标的节点外,其他节点的父节点都为 (下标-1)/2。所有节点的左孩子节点为 下标*2+1，右孩子节点为 下标*2+2

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储通常分为：顺序存储和链式存储

顺序存储：通常用于完全二叉树
链式存储：通常通过一个节点的左、右、双亲节点域，引用其他节点

孩子表示法：就是用两个节点域分别存储此节点的左右孩子节点

//孩子表示法
public class Node {
    private int val;//数据
    private Node left;//左孩子
    private Node right;//右孩子
}

孩子双亲表示法：就是用三个节点域分别存储此节点的左右双亲节点

//孩子双亲表示法
public class Node {
    private int val;//数据
    private Node left;//左孩子
    private Node right;//右孩子
    private Node parent; // 当前节点的双亲节点
}

2.5 二叉树的基本操作

首先我们先写一个对二叉树基本操作的类：

public class MyBinaryTree {

}

二叉树是由节点构造的，所以需要在MyBinaryTree类中写一个内部类，当做节点类：

//树的节点
public class Node {
    private int val;//数据
    private Node left;//左孩子
    private Node right;//右孩子
    private Node(int val) {
        this.val = val;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node{" +
                "节点=" + val +
                ", 左子节点=" + left.val +
                ", 右子节点=" + right.val +
                '}';
    }
}

要对二叉树进行基本操作，首先需要有一颗二叉树，那么我们就先在MyBinaryTree类中写一个方法创建一棵固定的二叉树：

//构造一棵二叉树
public Node createBinaryTree() {
    Node node1 = new Node(1);
    Node node2 = new Node(2);
    Node node3 = new Node(3);
    Node node4 = new Node(4);
    Node node5 = new Node(5);
    Node node6 = new Node(6);
    node1.left = node2;
    node1.right = node3;
    node2.left = node4;
    node2.right = node5;
    node3.left = node6;

    return node1;
}

有了一棵二叉树后，我们就可以完成二叉树的基本操作

2.5.1 判断二叉树是否为空

直接判断传过来的根节点是否为null，如果为null则是空树，否则不是空树

//判断二叉树是否为空
public boolean isEmpty(Node root) {
    return root == null;
}

2.5.2 二叉树的前序遍历

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则无法继续往下遍历直接 return。不为空就打印传过来的节点，然后采用递归遍历左子树和右子树

判断节点是否为空，节点为空 return
节点不为空打印节点值
递归左节点
递归右节点

//前序遍历
public void preOrder(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return;
    }
    //节点不为空，打印val值
    System.out.print(root.val+" ");
    //访问左子树
    preOrder(root.left);
    //访问右子树
    preOrder(root.right);
}

2.5.3 二叉树的中序遍历

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则无法继续往下遍历直接 return。不为空采用递归遍历左子树，再打印节点的值，然后采用递归遍历右子树

判断节点是否为空，节点为空 return
节点不为空，递归左节点
打印节点值
递归右节点

//中序遍历
public void inOrder(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return;
    }
    //先访问左子树
    inOrder(root.left);
    //当左子树遍历完，返回时打印val值
    System.out.print(root.val+" ");
    //再访问右子树
    inOrder(root.right);
}

2.5.4 二叉树的后序遍历

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则无法继续往下遍历直接 return。不为空采用递归遍历左子树，再采用递归遍历右子树，然后打印节点的值

判断节点是否为空，节点为空 return
节点不为空，递归左节点
递归右节点
打印节点值

//后序遍历
public void postOrder(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return;
    }
    //先访问左子树
    inOrder(root.left);
    //再访问右子树
    inOrder(root.right);
    //当左子树和右子树都访问完后打印val
    System.out.print(root.val+" ");
}

2.5.5 获取二叉树的节点个数

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回 0。不为空就递归左子树、然后递归右子树，当递归为null返回时，将左子树的节点个数+右子树的节点个数+本身的节点个数

// 获取树中节点的个数
public int size(Node root) {
    if(isEmpty(root)) {
        return 0;
    }
    //将遍历的左子树右子树加起来，然后再加上本身的一个节点
    return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}

2.5.6 获取二叉树的叶子节点个数

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回 0。不为空就判断它的左节点和右节点是否为空，如果为空返回1，如果不为空就递归它的左子树和右子树，然后将它左子树和右子树的叶子节点个数加起来即可

// 获取叶子节点的个数
public int getLeafNodeCount(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return 0;
    }
    //如果一个节点的左子树和右子树都为null，说明这个节点就是叶子节点
    if (root.left == null && root.right == null) {
        return 1;
    }
    //将返回的叶子节点加起来
    return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
}

2.5.7 获取二叉树指定层的节点个数

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回 0。不为空就递归到第 k 层，如果第 k 层的节点不为空就返回1，如果为空就返回0，将返回的第k层的节点个数加起来即可

// 获取第K层节点的个数
public int getKLevelNodeCount(Node root,int k) {
    if (isEmpty(root)) {
        return 0;
    }
    //当k=1时，就是我们要获取的第k层的节点个数
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    //递归到第k层
    return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1)
            + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
}

2.5.8 获取二叉树的高度

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回 0。不为空就遍历它的左子树和右子树，然后判断左子树和右子树谁的节点多，多的子树加上本节点返回给上一层

// 获取二叉树的高度
public int getHeight(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return 0;
    }
    //遍历左子树
    int left = getHeight(root.left);
    //遍历右子树
    int right = getHeight(root.right);
    //判断左子树和右子树谁的节点多，多的子树加上本节点返回给上一层
    return left >= right ? left+1 : right+1;
}

2.5.9 检测值为value的元素是否存在

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回 null。不为空就判断这个节点的 val 值是否是我们要找的 value，如果是则不需要再递归直接返回这个节点，如果整棵树都遍历完了则没有这个节点则会返回null

// 检测值为value的元素是否存在
public Node find(Node root, int value) {
    if (isEmpty(root)) {
        return null;
    }
    //当元素存在直接返回这个元素的节点
    if (root.val == value) {
        return root;
    }
    //访问左子树
    Node nodeL = find(root.left,value);
    if (nodeL != null) {
        return nodeL;
    }
    //访问右子树
    Node nodeR = find(root.right,value);
    if (nodeR != null) {
        return nodeR;
    }
    //如果没有这个节点就返回null
    return null;
}

2.5.10 二叉树的层序遍历

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接return。不为空就实例化一个队列（队列：先进先出），将节点放入队列中，判断队列不为空就进入循环，从队列中出一个元素放入临时变量tmp中，然后打印 tmp 节点的 val 值，如果tmp节点的左节点不为空就入队，如果tmp节点的右节点不为空就入队，依次这样循环直到队列为空跳出循环

//层序遍历
public void levelOrder(Node root) {
    if(isEmpty(root)) {
        return;
    }
    //用队列存储节点
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    //将第一个节点放入队列中
    queue.offer(root);
    //当队列不为空，就进入循环
    while (!queue.isEmpty()) {
        //弹出队列的队头元素
        Node tmp = queue.poll();
        //打印队头元素的值
        System.out.print(tmp.val+" ");
        //如果弹出的这个元素的左节点不为空，就入队列
        if (!isEmpty(tmp.left)) {
            queue.offer(tmp.left);
        }
        //如果弹出的这个元素的右节点不为空，就入队列
        if (!isEmpty(tmp.right)) {
            queue.offer(tmp.right);
        }
    }
    System.out.println();
}

2.5.11 判断一棵二叉树是不是完全二叉树

首先我们得调用 isEmpty 方法判断传过来的节点是否为空，如果为空则没有节点直接返回true。不为空就实例化一个队列（队列：先进先出），将节点放入队列中，判断队列不为空就进入循环，从队列中出一个元素放入临时变量tmp中，判断tmp中的节点是否为null，如果tmp的节点为空则将队列中的节点挨个出，并判断出的节点是否都为null，如果有一个不为null则就不是完成二叉树，直接返回false。如果tmp中的节点不为null，则将这个节点的左右节点都入队。当队列为空，不进入循环时则为完全二叉树返回true

// 判断一棵树是不是完全二叉树
public boolean isCompleteTree(Node root) {
    if (isEmpty(root)) {
        return true;
    }
    //用队列存储节点
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    //将第一个节点放入队列中
    queue.offer(root);
    //队列不为空，进循环
    while (!queue.isEmpty()) {
        //弹出队列的队头节点
        Node tmp = queue.poll();
        /*
        判断弹出的节点是否为null，如果是则将队列中的节点挨个弹出，并判断弹出的节点是否都为null，
        如果有一个不为null则就不是完成二叉树，直接返回false.
        如果弹出的节点不为null，则将这个节点的左右节点都入队。
        当队列为空，不进入循环是则为完全二叉树返回true
         */
        if (tmp == null) {
            while (!queue.isEmpty()) {
                Node t = queue.poll();
                if (t != null) {
                    return false;
                }
            }
        } else {
            queue.offer(tmp.left);
            queue.offer(tmp.right);
        }
    }
    return true;
}

【数据结构】树和二叉树

1.树

1.1 树的概念

1.2 树的特征

1.3 树每个结点的关系

1.4 树的表示形式