Unity 算法 之 点集中计算绘制 凸包 的简单整理
目录
一、简单介绍
算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
凸包：在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集被称为X的凸包。
给定一组离散的点，求得包围整个离散点的边的集合。
例如，在墙上随机定了N个钉子，然后用一个足够大的橡皮筋包围这些钉子，那么松开橡皮筋之后，橡皮筋的范围就是凸包。
那么凸包的算法，就是输入一组离散点，返回能够组成凸包的点，将这些点连接起来就是凸包了。
常用的凸包算法是Graham扫描法，和Jarvis步进法
二、Graham扫描法
时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。
第一种说明：
1、把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
2、把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
3、计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
（以上是准备步骤，以下开始求凸包）
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
4、连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
5、如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
6、当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
7、检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。
第二种说明：
1、从离散点集合S中获取一个y轴最小，x轴最小的点 P0。（如果最小y轴有多个点，就取x轴最小的点）
2、计算S中其他的点到P0点的极角，并按照从小到大的顺序进行排序的到集合S1（极角相同，取距离最段的排在前），通过排序后可以确定PO点和排序后集合S1 中的第一个点P1点是凸包点，加入凸包列表中。
3、从S1中取得下一个点（P2），计算P2点位于线段（P0,01）的左边还是右边。
4、如果是左边，将P2点加入凸包点队列，如果右边，移除上一次加入的点（P1），重新计算P1点与集合中线段的位置关系（这里移除P1后，列表里只有一个，那就直接加入）
5、重复3到4步骤，知道S1中没有点为止。
三、代码（第二种说明）
using UnityEngine;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
public class GrahamScan : MonoBehaviour {
//离散的点
public Transform[] Points;
//组成边的顶点集合
public List<Transform> ePoint = new List<Transform>();
private bool IsFinsh = false;
void Start()
{
Aritmetic();
}
//算法
void Aritmetic()
{
Transform bp = BasePoint();
bp.name = "P0";
ePoint.Add(bp);
Transform[] polarSort = PolarSort(bp);
for (int i = 0; i < polarSort.Length; i++)
{
if (polarSort[i] == bp) continue;
polarSort[i].name = "P" + (i + 1);
}
//通过排序，而可以得知 第一个点肯定在凸边上
ePoint.Add(polarSort[0]);
StartCoroutine(Ia(polarSort));
}
IEnumerator Ia(Transform[] polarSort)
{
for (int i = 1; i < polarSort.Length; i++)
{
yield return new WaitForSeconds(1);
ePoint.Add(polarSort[i]);
float d = PointDir(ePoint[ePoint.Count-1].position, ePoint[ePoint.Count - 2].position, ePoint[ePoint.Count - 3].position);
if (d <= 0)
continue;
while (true)
{
yield return new WaitForSeconds(1);
ePoint.RemoveAt(ePoint.Count-2);
d = PointDir(ePoint[ePoint.Count - 1].position, ePoint[ePoint.Count - 2].position, ePoint[ePoint.Count - 3].position);
if (d < 0)
break;
}
}
IsFinsh = true;
}
void OnDrawGizmos()
{
Gizmos.color = Color.red;
if (!IsFinsh)
{
for (int i = 0; i < ePoint.Count - 1; i++)
Gizmos.DrawLine(ePoint[i].position, ePoint[i + 1].position);
return;
}
for (int i = 0; i < ePoint.Count; i++)
{
if (i == ePoint.Count - 1)
{
Gizmos.DrawLine(ePoint[i].position,ePoint[0].position);
continue;
}
Gizmos.DrawLine(ePoint[i].position,ePoint[i+1].position);
}
}
/// <summary>
/// 获取基点P0
/// </summary>
/// <returns></returns>
Transform BasePoint()
{
//取y值最小 如果多个y值相等，去x最小(这里y 我们取z)
Transform minPoint = Points[0];
for (int i = 1; i < Points.Length; i++)
{
if (Points[i].position.z < minPoint.position.z)
minPoint = Points[i];
else if (Points[i].position.z < minPoint.position.z)
minPoint = Points[i].position.x < minPoint.position.x ? Points[i] : minPoint;
}
return minPoint;
}
/// <summary>
/// 获取点的方向 =0 在线上 <0在左侧 >0在右侧
/// </summary>
/// <param name="p"></param>
/// <param name="p1"></param>
/// <param name="p2"></param>
/// <returns></returns>
float PointDir(Vector3 p, Vector3 p1, Vector3 p2)
{
Vector3 v1 = p1 - p;
Vector3 v2 = p2 - p1;
float f = v1.x * v2.z - v2.x * v1.z;
return f;
}
/// <summary>
/// 极角排序
/// </summary>
/// <param name="bp"></param>
/// <returns></returns>
Transform[] PolarSort(Transform bp)
{
List<Transform> p = new List<Transform>();
for (int i = 0; i < Points.Length; i++)
{
//如果是自己，则跳过
if (Points[i] == bp) continue;
Vector3 v = Vector3.zero;
float e = GetProlar(Points[i], bp,out v);
int index = -1;
for (int j = 0; j < p.Count; j++)
{
Vector3 v1 = Vector3.zero;
float e1 = GetProlar(p[j],bp,out v1);
if (e1 > e)
{
index = j;
break;
}
if (e1 == e && v.magnitude < v1.magnitude)
{
index = j;
break;
}
}
if (index == -1)
{
p.Add(Points[i]);
continue;
}
p.Insert(index,Points[i]);
}
return p.ToArray();
}
/// <summary>
/// 获取极角
/// </summary>
/// <param name="pos1"></param>
/// <param name="pos2"></param>
/// <returns></returns>
float GetProlar(Transform pos1, Transform pos2,out Vector3 v)
{
v = pos1.position - pos2.position;
return Mathf.Atan2(v.z,v.x);
}
}