《信号与系统学习笔记》—信号与系统的时域和频域特性（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、一阶与二阶连续时间系统

一）、一阶连续时间系统

1、对于一个一阶系统，其微分方程往往表示成下列形式：

区中t是一个系数。相应的一阶系统的频率响应是

其单位冲激响应是

系统的阶跃响应为

这些都分别回执图6.19)a)和图6.19(b)中。参数t称为系统的时间常数，它控制着一阶系统响应的快慢。

2、图6.20画出了式(6.22)频率响应的伯德图。这幅图体现了使用对数频率坐标的一个优点，这就是没有多大困难难就可以德奥一阶系统一个很有的近似伯德图。

为此，频率响应的对数特性，由式（6.22）可得

从该式可见，对于wt<<1，对数近似为零；而对于wt>>1,对数模就近似为的线性函数。也就是说

和

换句话说，一阶系统其对数模特性在第频和高频与的渐进线都是直线。低频渐进线[由式(6.26)给出]就是一条0dB线；而高频渐进线[由式(6.27)给出]相应于在|H(jw)|上每隔十倍频程有20dB的衰减，有事这就成为“没十倍频程20dB”渐进线。

注意由式(6.26)和式(6.27)所表示的这两条渐进线在这一点，也即w=1/t这一点是相等的。由图来看，这就意味着两条渐进线应在w=1/t相交，这样就提供了对数模特性图的一种直线近似。这就是，对于w≤1/t，而对于w≥1/t，则由式(6.27)给出。

由于在w=1/t这一点，近似特性的斜率发生变化，因此这一点往往就称为转折频率。同时，由式(6.25)可知，在w=1/t这一点，式中对数内的两项相等，所以在这一点的实际值为

由于这个原因，w≥1/t这一点有时称为3dB点。

3、对也能求得一个有用的直线近似为

可以注意到这条近似特性作为的函数，在

范围内是线性下降的(从0到-π/2)，也就是说在转折频率上下各有一个十倍频程的范围内。同时，在w≥1/t时，的准确近似值就是-π/2。再者，在转折频率出w=1/t处，的近似值与真正值是一致的，其值为

4、从上面的一阶系统可以再次看到时间和频率之间的相反关系。当t减小时，就就加速了系统的时间响应，即h(t)变得更向原点压缩阶跃响应的上升时间就减小了；榆次同时，转折率升高，即的频率范围更宽，H(jw)就变宽了。

二）、二阶连续时间系统

1、二阶系统的线性常系数微分方程的一般形式为

其二阶系统的频率响应是

将H(jw)的分母因式化后，得

其中

若，进行部分分式展开得到

其中

由式(6.35)，系统的单位冲激响应为

如果这是有

此时的单位冲激响应为

参数称为阻尼系数，称为无阻尼自然频率。首先由式(6.35)看出，当0<<1是，c1和c2都是复数，因此将式(6.37)的单位冲激响应写成

因此对于0<<1，二阶系统的单位冲激响应就是一个耍贱的振荡。这时系统称为欠阻尼的。如果>1，则c1和c2都是实数，并且是负的，单位冲激响应就是两个衰减的指数之差，这时系统称为过阻尼的。当=时，c1=c2，这时系统称为临街阻尼的。

4、对于≠1，二阶系统的阶跃响应可由式(6.37)算出，其表达式是

对于=1，利用式(6.39)可得

5、由式(6.33)可得

从这个表达式可以到处搞、第频率两条线性渐近线为

因此，对数模特性的低频渐近线是0dB线，而高频渐近线则有一个每隔十倍频程-40dB的斜率；也就是说，当w没增加10倍是，|H(jw)|就下降40dB。另外，两条渐近线在w=wn处相交。因此得出，对w≤wn，可以利用式(6.44)给出的近似，对对数模特性切得一个直线渐近线近似。为此，wn称为二阶系统的转折频率。

另外，也能求得的一个直线近似，的准确表达式可由式(6.33)得到