数论入门学习笔记

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躺在草稿箱里的大一写的博客（个人感觉写的还行）

一、整除的性质

1. 整除：若a%b==0,则称a能被b整除或b能整除a，记作b | a.

2. 整除性质：

（1）若 a|b <=> -a|b <=> a|-b <=> |a| | |b|

（2）若 a|b，b|c $\Rightarrow$ a|c

（3）若 a|b，a|c $\Rightarrow$ a|(bx+cy) 其中 x，y 为任意整数

（4）若 a|b $\Rightarrow$ am | bm 其中 m 为非零整数

（5）若 a|b，b|a $\Rightarrow$ b = ±a <=> |b|=|a|

（6）若 a|bc，且 a 与 c 互质，则 a|b

（7）若a|b，a|c，且b与c互质，则a|bc

（8）若a|b，c为任意整数，则b|ac

二、模运算与同余运算

1.模运算及其性质

（1） 取模运算：a % p（a mod p），表示 a 除以 p 的余数。

（2） 模 p 加法：(a + b) % p = (a%p + b%p) % p

（3） 模 p 减法：(a - b) % p = (a%p - b%p) % p

（4） 模 p 乘法：(a * b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p

（5） 幂模 p：(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

（6） 模运算满足结合律、交换律和分配律。

（7） a≡b (mod n) 表示 a 和 b 模 n 同余，即 a 和 b 除以 n 的余数相等

注意：模运算无除法，不可使用(a / b) % p = (a%p / b%p) % p，遇到除法取模时，可求其乘法逆元

2.同余运算及其性质

（1）反身性：a≡a (mod m)；

（2）对称性：若 a≡b(mod m)，则 b≡a (mod m)；

（3）传递性：若 a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则 a≡c(mod m)；

（4）同余式相加：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则 a±c≡b±d(mod m)；

（5）同余式相乘：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则 ac≡bd(mod m)。

三、快速幂

1. 快速幂

假设要求xⁿ ，那么原题可以很轻松的表示为：xⁿ= (((x²)²)^2…)。这样只要做k次平方运算就能解决，时间复杂度就从O(n)下降到 log(n),只要幂运算的幂可以写成 2^k 的形式，就可以用上面的方法降低时间复杂度。所以我们可以将任意的实数n改写有限个2^k的形式的相乘。

例如假设 xⁿ 等于 3²² 。x = 3， n = 22 = 10110（B），则有3²² = 3¹⁶ $\times$ 3⁴$\times$ 3²，即3¹⁰¹¹⁰ = 3¹⁰⁰⁰⁰ $\times$ 3⁰⁰¹⁰⁰$\times$ 3⁰⁰⁰¹⁰。

代码样例：

typedef long long ll;
ll quick_pow(ll a, ll n)  //快速幂 a^n
{
    
    
    ll ans = 1, base = a;
    while (n) {
    
    
        if (n & 1) ans = ans * base;
        base = base * base;   //计算1所在的位置的取值
        n >>= 1;  //二进制右移
    }
    return ans;
}

快速幂取模：

typedef long long ll;
ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod)  //快速幂取模 a^n % mod
{
    
    
    ll ans = 1, base = a;
    while (n) {
    
    
        if (n & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;  
        n >>= 1;  
    }
    return ans;
}

- 另一种理解方法：

• 当b为偶数时，xⁿ 可以转为 x^2 的 $\frac{b}{2}$ 次方。
• 当b为奇数时，xⁿ 可以转为 x^2 的 $\frac{b}{2}$ 次方，再乘以 x

代码解释：

ll pow(ll a,ll n)  //快速幂 a^n
{
    
    
	ll ans = 1, base = a;
	while(n){
    
    
		if(n & 1) ans = ans * base ;  //n为奇数
		base = base * base ;   //n为偶数时，底数平方
		n >>= 1;  //指数减半
	}
	return ans;
}

2.光速幂

四、最大公因数与最小公倍数

辗转相除法（欧几里得算法）

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数

• 引入定理： gcd(a,b) = gcd(b, a %b)

gcd代码：

int gcd(int a, int b) {
    
    
    int Rem;
    while (b > 0) {
    
    
        Rem = a % b;
        a = b;
        b = Rem;
    }
    return a;
}

gcd代码简化：

int gcd(int a, int b) {
    
    
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

定理：a、b 两个数的最小公倍数乘以它们的最大公约数等于 a 和 b 本身的乘积。

• lcm(a,b) * gcd(a,b) = a * b

在求 lcm 时，如果将 lcm 写成 a * b / gcd(a,b)，a*b 可能会溢出，正确的方法应该是先除后乘，即：lcm(a,b) = a / gcd(a,b) * b

lcm代码：

int lcm(int a, int b) {
    
    
    return a / gcd(a, b) * b;
}

多个数（a1, a2, a3…am）的 lcm ，先求出 a1,a2 的 lcm ，再求出 lcm(lcm(a1,a2), a3)……

五、素数与素数筛

1.素数

• 质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数

判断素数代码：

bool is_prime(int num) {
    
    
    for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
    
    
        if (num % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

2.素数筛

• 素数筛就是快速筛出素数的算法

1.1 埃筛

• 复杂度 O(nloglogn)

埃筛代码：

const int MAXN = 1e6 + 5;
bool is[MAXN];//is[i]     1 is prime ， 0 is not a prime
int prime[MAXN], cnt = 0;
void getprime() {
    
    
    memset(is, 1, sizeof(is));
    is[0] = is[1] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++) {
    
    
        if (is[i]) {
    
    
            prime[cnt++] = i;
            for (int j = 2; i * j < MAXN; j++) {
    
    
                is[i * j] = 0;
            }
        }
    }
}

1.2 线性筛

• 复杂度 O(n)

线性筛代码：

const int MAXN = 1e6 + 5;
bool is[MAXN];//is[i]     1 is prime ， 0 is not a prime
int prime[MAXN], cnt = 0;

void getprime() {
    
    
    memset(is, 1, sizeof(is));
    is[0] = is[1] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++) {
    
    
        if (is[i]) {
    
    
            prime[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; j++) {
    
    
            if (i * prime[j] > MAXN)   //判断数组下标是否越界
                break;
            is[i * prime[j]] = 0;
            if (i % prime[j] == 0)    //根据最小素数因子筛除，避免重复筛选
                break;
        }
    }
}

六、逆元

1.欧拉定理

• 若 n,a 为正整数，且 n,a 互质，则:a ^ $\phi$(n) ≡ 1(mod n)

2.费马小定理

• 如果 p 是一个质数，而整数 a 不是 p 的倍数，则有 a ^（p-1）≡1（mod p）