进阶数论学习笔记

目录：

• 质数

  • 相关概念

  • 筛

• 约数

  • 相关概念

  • 欧几里得算法求\(gcd\)、\(lcm\)

  • 扩展欧几里得

  • 约数个数与约数和

  • 裴蜀定理

  • 欧拉函数

• 模/同余

  • 相关概念

  • 费马小定理

  • 欧拉定理

  • 求解模线性方程

  • 逆元

  • 求解同余方程组

• 杂

  • 矩阵

  • 高斯消元

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前言：

• 目录xjb分的没有依据看看就行
• 作者学自闭了更不更看心情吧不完善也就算了有锅请来砍告诉我

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正题：

质数

• 唯一分解定理 ：正整数的质因数分解是唯一的

• 各种筛：如果你看到这里记得提醒菜鸡作者填坑

约数

• 欧几里得算法 ：\(gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)\)

  • 证明 :

    设 : \(a,b\) 的最大公约数为 \(c\)

    \(a=nc\ ,\ b=mc\) , \((n,m \in Z)\) , \(a=k\times b + r\)

    \(r=a\%b=a-k b=nc-kmc=(n-km)c\)

    若要使 \((a,b) = (b,a\%b)\) ,

    则需要证 : \(b , r\) 的最大公约数也为 \(c\) ,

    \(b=mc , r=(n-km)c\) 中 , \(m,(n-km)\) 互质 。

    用反证法 , 设存在 \(d\) 为 \(m,(n-km)\) 的最大公约数，且 \(d > 1\)。

    设 : \(n-km=qd\) , \(m=pd\)

    则\(b = mc = pdc\\) ,

    \(\ a=kb+r=kpdc + qdc=dc(kp+q)\)

    则 \(a\) 还存在一个因数 \(dc > c\)

    此结论与\(a,b\) 的最大公约数为 \(c\) 相矛盾

    故不存在 \(d>1\) 作为 \(m,(n-km)\) 的最大公约数

    则 \(m,(n-km)\)互质 ，子证明成立。

    得: \(b=mc , r=(n-km)c\) 中 , \(m,(n-km)\) 互质 。

    则： \(b\) 与 \(r\) 的最大公因数仍为 \(c\)

  • \(gcd(n,m)·lcm(n,m) = nm\)

• 约数个数与约数和：

  • 对于任意数 \(n\) , 求其约数的个数：\(num=\sum\limits_{i=1}^n(a_i+1)\)

  • 证明:

    先将 \(n\) 质因数分解 , 得到:\(n=p_1^{a1}\times p_2^{a2}\times ...\)

    则：其任意一因子p可表示为：
    \(p=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times ... (0=<b_1<=a_1,0=<b_2<=a_2,...)\)

    根据 \(b_1,b_2,...\)的取值 , 则其因子个数为:
    \((a_1+1)\times(a_2+1)\times...\)

  • 对于任意数 \(n\) ,求其约数和:\(sum=\prod\limits _{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j\)

  • 证明 :

    同上 , 先将 \(n\) 质因数分解 , 得到:\(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ...\)

    则：其任意一因子p可表示为：
    \(p=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times ... (0=<b_1<=a1,0=<b_2<=a_2,...)\)

    根据乘法原理，可得它们的和为:
    \((p_1^0+p_1^1+…p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+…p_2^{a_2})…(p_k^0+p_k^1+…p_k^{a_k})\)

• 扩展欧几里得算法：简称 \(exgcd\) 一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等，这里只介绍第一种，后两种在模/同余中会提到

  • 证明 :

    • ① \(ax_1+by_1=gcd(a,b)\) ② \(bx_2+(a\%b)y_2=gcd(b,a\%b)\) ③ \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\) . 联立①②③与⑨可以得到
      \[ax_1+by_1=bx_2+(a\%b)y_2\]
      
    • \(a\%b=a- \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor b\),所以\(gcd(a,b)=gcd(b,a- \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor b)\)
      

    • 化简：
      \(ax_1+by_1=bx_2+(a- \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor b)y_2\)

      \(ax_1+by_1=bx_2+ay_2- \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor by_2\)

      \(ax_1+by_1=ay_2+b(x2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_2)\)

      所以有 \(x_1=y_2,y1=x2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_2\) ,至此，递归关系已非常明了。
      
    • 通解 ：通过以上方法可以得到一解 \(x_0,y_0\) ,然后可得通解：\(x=x_0+\dfrac{b}{gcd(a,b)}\times t,y=y_0+\dfrac{a}{gcd(a,b)}\times t,t \in Z\)
      此时 \(\dfrac{b}{gcd(a,b)},\dfrac{a}{gcd(a,b)}\) 为最小系数
      

  • 求解不定方程:

    • 对于不定方程 : $ ax + by = c $ ,根据 扩展欧几里得 :

      • 1.若$c % gcd(a,b) \not= 0 $ , 则原方程无解

        2.若$ c %gcd(a,b) = 0$

        设\(d = gcd(a,b)\) , 则原方程可转化为 :
        \(a\times (x\times \frac{d}{c}) + b\times (y\times \frac{d}{c}) =d (= c\times \dfrac{d}{c})\)
        用 \(exgcd\) 可以求出当 \(ax+by=d\) 时的解，再使 \(x,y\) 分别乘上\(\dfrac{d}{c}\) , 即可得到原方程 \(ax + by = c\) 的解

• 裴蜀定理 / 关于线性不定方程：对任何 \(a,b\in Z\) 和它们的最大公约数\(d\)，关于未知数\(x\)和\(y\)的线性不定方程（称为裴蜀等式）：\(ax+by=c\)有整数解\((x,y)\)当且仅当\(d∣c\)，可知有无穷多解。特别地，一定存在整数\((x,y)\)，使\(ax+by=d\)成立。

  • 推论 ：\(a,b\) 互质的充要条件是存在整数\(x,y\)使\(ax+by=1\)

    • 推论证明 ：\(ax+by=d\) 的条件是 \(gcd(a,b)\mid d\) ,当 \(d = 1\) 时，\(1\) 的约数有且只有 \(1\) ,即 \(1\) 只整除 \(1\), 所以 \(gcd(a,b)\) 只能等于 \(1\),即 \(a,b\) 互质

• 欧拉函数

  • 定义：对于正整数 \(n\)，满足 $ a\perp n $ 的 a 的个数 \((a < n)\)，即为 \(n\) 的欧拉函数的值。也称作 $\Phi   $函数。

    例 ： \(\Phi (8) = 4\) ( \(8\) 的互质数为 : \(1,3,5,7\) )

    特别地，\(\Phi (1) = 1\)

  • 一些性质：

    1. 若 \(n\) 为质数则 \(\Phi (n) = n-1\) .

    2. 欧拉函数是积性函数——若 \(m \perp n\)，则 $\Phi (mn) = \Phi(m) \times \Phi(n) $。

    3. 当 \(n\) 为奇质数时，\(\Phi(2n) = n\) , 证明与上述类似。

    4. 如果 \(p\) 为质数 , 则有:

       \(\Phi (p^a) = p^a(1-\frac{1}{p})\)

       • 证明:

         比 \(p^a\) 小的数有 \(p^a-1\) 个
         其中与 \(p^a\) 不互质的数 , 一定是 \(p\) 的倍数
         \(p\) 的倍数可以这样表示 : \(tp ,t \in [1\ ,\ p^{a-1}-1]\) , 故有 \(p^{a-1}-1\) 个数

         则与 \(p\) 互质的数的个数为:

         \(\Phi (p^a)\)

         \(=(p^a-1) - (p^{a-1}-1)\)

         \(= p^a-p^{a-1}\)

         \(=p^{a-1}(p-1)\)

         \(= p^a(1-\frac{1}{p})\)

    5. 对于任意大于 \(1\) 的正整数 \(n\) ，有：

       $\Phi (n) = n \times \prod\limits_{i=1}^{n} (1-\frac{1}{p_i}) $

       • 证明:

         先将 \(n\) 进行质因数分解：
         \(n=P^{c1}_1\times P^{c2}_2 \times ...\times P^{cm}_m\)

         由性质 \(4\) , 可得 :
         \(\Phi (p^{c1}_1) = p^{c1}_1(1-\frac{1}{p_1})\) , \(\Phi (p^{c2}_2) = p^{c2}_2(1-\frac{1}{p_2})\)

         又因为性质 \(2\) , 欧拉函数是积性函数 , 得:
         \(\Phi(n)\)
         \(=\Phi(P^{c1}_1\times P^{c2}_2 \times ...\times P^{cm}_m)\)

         \(=\Phi (p^{c1}_1)\times\Phi (p^{c2}_2)\times ... \times \Phi (p^{cm}_m)\)

         \(=p^{c1}_1(1-\frac{1}{p_1})\times p^{c2}_2(1-\frac{1}{p_2})\times ...\times p^{cm}_m(1-\frac{1}{p_m})\)

         \(=(p^{c1}_1\times p^{c2}_2\times ...\times p^{cm}_m)\times (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_m})\)
         \(=n \times \prod\limits_{i=1}^{m} (1-\frac{1}{p_i})\)

         原式得证 。

模/同余

• 随时取模：\((a+b)\%p = (a\%p+b\) % \(p)\%p\) （乘法同理）

• 二次探测定理：若 \(p\) 为质数 , 且 \(x^2 \equiv 1(mod\;p)\) ,那么\(x \equiv 1 (\mod p)\) 和 $x \equiv p-1(\mod p) $ 中的一个成立。

• 剩余类：把\(r\mod m\)称为模\(m\)的一个剩余类，除以\(m\)后余数相等的记为一类，同余同类，不同余不同类

• 完全剩余系：模某个数意义下所有剩余类的集合

• 费马小定理及其证明： \(n^ {p-1} \equiv1(mod\;p),p\)为质数

  • 证明：因为\(p\)是质数，所以\(\%p\)的完全剩余系为\(1,2,3...p-1\),因为\(gcd(a,p)=1\)，所以\(a,2a,3a...(p-1)a\)也是\(\%p\)的完全剩余系， 所以有：\(1\times2\times3\times...\times(p-1)\equiv a\times2a\times3a\times...\times(p-1)a (mod\;p)\) 故\((p-1)!\equiv (p-1)! * a^{p-1}(mod\;p)\)
    两边同除\((p-1)!\)可得\(a^{p-1}\equiv 1(mod\;p)\)

• 欧拉定理：

  对于两个互质的数 \(a\) 和 \(p(p ≥ 2)\)，有 \(a ^{\Phi(p)} ≡ 1 \ \pmod p\) 。

  • 证明：

    设集合 \(N=\{x_1,x_2,... ,x_{\Phi(p)}\}\) 为 \(\Phi(p)\) 个小于 \(p\) 且与 \(p\) 互质的数,
    \(M=\{ax_1,ax_2,... ,ax_{\Phi(p)}\}\)

    可证: 任取\(ax_s,ax_r \in M\) ,\(\pmod p\) 下都不同余

    • 子证明：

      用反证法，假设：\(ax_s \equiv ax_r \pmod p\)

      则有 : \(p\mid (x_s-x_r)a\) ，
      即:\((x_s-x_r)a=np \ (n\in Z)\)
      因为\(a\bot p\),所以\(lcm(a,p)=a*p\),所以当且仅当\(p|(x_s-x_r)\)时成立，而\((x_s-x_r) < p\),所以不可能成立

      则 : 与 \(p\mid (x_s-x_r)\) 相矛盾
      故不成立，原式得证 。

    则 : 集合 \(M\) 中任意两元素 ， 在 \(\pmod p\) 下，都不同余 。

    则: \(N=x_1 ,\ x_2\ ,\ ...\ ,\ x_{\Phi(p)}\),
    在 \(\pmod p\)下，
    与: \(M=ax_1\ ,\ ax_2,\ ...\ ,\ ax_{\Phi(p)}\) 有映射相等关系 .

    则 : \(\large \prod\limits_{i\in N} \equiv \prod\limits_{j\in M} \pmod p\)

    即 :
    \(x_1\times\ ...\ \times x_{\Phi(p)} \equiv ax_1\times\ ...\ \times ax_{\Phi(p)} \pmod p\)
    \(x_1\times\ ...\ \times x_{\Phi(p)} \equiv (x_1\times\ ...\ \times x_{\Phi(p)})a^{\Phi(p)} \pmod p\)

    同除 \(x_1\times\ ...\ \times x_{\Phi(p)}\),得:

    \(a ^{\Phi(p)} ≡ 1 \ \pmod p\)

• 求解模线性方程

  • \(ax \equiv b (mod\;c)\) 可化作不定方程形式，然后按求不定方程的方法求解：
    • 由同余方程可得 \(ax\%c=b\%c\)
      $ax-b=cy,y\in Z $
      \(ax=cy+b,y\in Z\)
      \(ax\pm cy=b=k*gcd(a,b),k\in Z\)
      至此可以用 \(exgcd\) 求解
      

• 逆元 ：\(x·inv(x) \equiv1(mod\;p)\)

  • 当且仅当\(p\)为质数时，根据费马小定理 ,可得 :
    \[inv(x)·x \equiv x^{p-1}(mod\;p)\]

    所以 ：

  \[inv(x)\equiv x^{p-2}(mod\;p)\]

  • 证明: 移项得：\(x^2-1 \equiv 0(mod \; p)\)，根据平方差公式可得:\((x+1)(x-1) \equiv 0(mod\;p)\),所以\((x+1)|p\) 或 \((x-1)|p\)

  • 求解模的逆元

    • 扩欧法：由基础知识可知关于 \(x\) 和它的逆元 \(inv(x)\) 在\(mod\ b\) 意义下的关系：\(x·inv(x)\equiv 1(mod\;b )\),可近似的看作一个同余方程求解
      

    • 费马小定理法：需要用到快速幂

    • 递推法：
      • 设\(p=k\times i+r\)

      因为\(p\equiv0(mod\;p)\)，所以\(k\times i+r \equiv 0(mod\;p)\)

      方程两边同乘\((inv(i)\times inv(r))\)

      可得：\(k\times i \times inv(i)\times(inv(r)+r\times inv(i)\times inv(r) \equiv 0(mod\;p)\)
      \(k\times inv(r)+inv(i)\equiv 0(mod\;p)\)

      \(inv(i)\equiv-k\times inv(r)\;(mod\;p)\)
      \(inv(i)\equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor\times inv(p\%i)\;(mod\;p)\)

      至此，递推关系明了，设置边界\(inv(1)=1\),并且为了保证为正整数解，则需要再加上\(p\),因为最后要\(\%p\)，所以可以保证正确性

      关系式：\(inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i]\%p\)

    • 阶乘法：\(inv(i)=\dfrac{1}{i!}*(i-1)!\)

• 求解同余方程组

  • 只说一下\(exgcd\)合并同余方程的做法吧 CRT真难用

    • 现在有这样一个方程组：
      \(\begin{cases}x\equiv a_1(mod\;m_1)\\x\equiv a_2(mod\;m_2)\\x\equiv a_3(mod\;m_3)\end{cases}\)
    • 假设现在要求第\(k\)个方程的解，而现在已经得到了前\(k-1\)个方程的解\(ans\)，设\(M=\prod\limits_{i=1}^{k-1}m_i\),则前\(i-1\)个方程通解为\(kM+ans,k\in Z\)，然后将通解代入第\(i\)个方程，得到\(k\)满足第\(i\)个方程

杂

矩阵：