2023年数学建模线性规划案例及Matlab代码

引言

线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学的一个重要分支，也是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。它在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中具有广泛的应用。线性规划的主要任务是在一定条件下合理安排人力物力等资源，以实现最佳的经济效果。本文将介绍线性规划的基本概念、原理、方法，以及如何使用Matlab求解线性规划问题。

1. 线性规划的基本概念

线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。线性规划包含以下三个要素：

决策变量（Decision Variables）：需要确定的变量，如生产某个产品的数量、分配某种资源的数量等。
约束条件（Constraints）：由决策变量的线性组合构成的不等式或等式约束，限制决策变量取值范围的条件。
目标函数（Objective Function）：需要优化的线性函数，通常是要使其取得最大值或最小值。

满足线性约束条件的解称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域。

2. 线性规划的原理与方法

线性规划问题的求解方法有很多，其中最著名的是单纯形法（Simplex Method）。单纯形法是一种迭代算法，通过在可行域的顶点间移动，逐步寻找到目标函数的最优解。该方法的基本思路如下：

从一个可行解（即满足所有约束条件的解）开始。
寻找一个相邻的可行解，使得目标函数值得到改善。
若找到这样的可行解，则转到该解并重复步骤2；若无法找到这样的可行解，则当前解为最优解，算法终止。

3. 使用Matlab求解线性规划问题

在Matlab中，可以使用linprog函数求解线性规划问题。linprog函数的基本语法如下：

[x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)

其中：

下面是一个使用Matlab求解线性规划问题的示例。

f：目标函数系数向量；
A：不等式约束矩阵；
b：不等式约束右端项向量；
Aeq：等式约束矩阵（可选）；
`beq：等式约束右端项向量（可选）；
lb：决策变量的下界向量（可选）；
ub：决策变量的上界向量（可选）；
options：求解选项（可选）；
x：返回的最优解向量；
fval：最优目标函数值。

下面是一个使用Matlab求解线性规划问题的示例。

示例：生产调度问题

假设有一个工厂生产两种产品A和B，每生产一个单位的A需要2小时的加工时间和1小时的装配时间，每生产一个单位的B需要1小时的加工时间和3小时的装配时间。为了满足市场需求，工厂每周至少需要生产10个A和12个B。已知每周有60小时的加工时间和66小时的装配时间。如何安排生产计划以使利润最大化？已知每个A的利润为30元，每个B的利润为20元。

首先定义决策变量：

x1：生产A的数量；
x2：生产B的数量。

然后列出约束条件：

加工时间约束：2x1 + x2 <= 60；
装配时间约束：x1 + 3x2 <= 66；
A产品需求约束：x1 >= 10；
B产品需求约束：x2 >= 12。

最后确定目标函数：

目标函数：max f(x) = 30x1 + 20x2。

将问题转化为求解目标函数最小值问题：

目标函数：min f(x) = -30x1 - 20x2。

利用Matlab求解该问题：

% 目标函数系数
f = [-30; -20];

% 不等式约束矩阵
A = [2, 1;
     1, 3];

% 不等式约束右端项
b = [60; 66];

% 决策变量下界
lb = [10; 12];

% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);

% 输出结果
fprintf('最优生产计划：A = %d, B = %d\n', x(1), x(2));
fprintf('最大利润：%.2f元\n', -fval);

执行上述代码后，可以得到最优生产计划为A = 10, B = 18，最大利润为660元。

示例：饲料混合问题

某农场需要准备一种饲料，其中需要包含三种营养成分A、B和C，分别需要不少于90、80和70克。现有两种原料可供选择，每种原料的价格和每千克中含有的营养成分如下：

原料1：价格为5元/千克，每千克含有A 10克、B 8克、C 6克；
原料2：价格为3元/千克，每千克含有A 4克、B 5克、C 8克。

如何混合这两种原料以使得饲料成本最低？

首先定义决策变量：

x1：原料1的数量（千克）；
x2：原料2的数量（千克）。

然后列出约束条件：

A成分需求约束：10x1 + 4x2 >= 90；
B成分需求约束：8x1 + 5x2 >= 80；
C成分需求约束：6x1 + 8x2 >= 70。

最后确定目标函数：

目标函数：min f(x) = 5x1 + 3x2。

利用Matlab求解该问题：

% 目标函数系数
f = [5; 3];

% 不等式约束矩阵（注意将约束条件转化为“<=”形式）
A = [-10, -4;
     -8, -5;
     -6, -8];

% 不等式约束右端项
b = [-90; -80; -70];

% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, A, b);

% 输出结果
fprintf('最优混合方案：原料1 = %.2f千克, 原料2 = %.2f千克\n', x(1), x(2));
fprintf('最低成本：%.2f元\n', fval);

执行上述代码后，可以得到最优混合方案为原料1 = 8.75千克，原料2 = 12.50千克，最低成本为 62.50 元。

示例：运输问题

某公司有3个生产工厂和4个销售地区，各工厂的产量分别为100，180和220个单位，各销售地区的需求量分别为90，120，150和140个单位。工厂与销售地区之间的运输成本如下表所示（单位：元/单位）：

工厂\销售地区	地区1	地区2	地区3	地区4
工厂1	4	5	6	3
工厂2	5	4	3	2
工厂3	6	3	4	1

如何安排运输计划以使运输成本最低？

首先定义决策变量：

x_ij：从工厂i（i=1,2,3）运送到销售地区j（j=1,2,3,4）的单位数量。

然后列出约束条件：

工厂产量约束：
- x_11 + x_12 + x_13 + x_14 = 100；
- x_21 + x_22 + x_23 + x_24 = 180；
- x_31 + x_32 + x_33 + x_34 = 220。
销售地区需求约束：
- x_11 + x_21 + x_31 = 90；
- x_12 + x_22 + x_32 = 120；
- x_13 + x_23 + x_33 = 150；
- x_14 + x_24 + x_34 = 140。

最后确定目标函数：

目标函数：min f(x) = 4x_11 + 5x_12 + 6x_13 + 3x_14 + 5x_21 + 4x_22 + 3x_23 + 2x_24 + 6x_31 + 3x_32 + 4x_33 + 1x_34。

利用Matlab求解该问题：

% 目标函数系数
f = [4, 5, 6, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 3, 4, 1];

% 等式约束矩阵
Aeq = [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
       0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0;
       0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1;
       1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0;
       0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0;
       0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0;
       0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1];

% 等式约束右端项
beq = [100; 180; 220; 90; 120; 150; 140];

% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, [], [], Aeq, beq);

% 输出结果
fprintf('最优运输计划：\n');
fprintf('工厂1到地区1：%2.0f，地区2：%2.0f，地区3：%2.0f，地区4：%2.0f\n', x(1), x(2), x(3), x(4));
fprintf('工厂2到地区1：%2.0f，地区2：%2.0f，地区3：%2.0f，地区4：%2.0f\n', x(5), x(6), x(7), x(8));
fprintf('工厂3到地区1：%2.0f，地区2：%2.0f，地区3：%2.0f，地区4：%2.0f\n', x(9), x(10), x(11), x(12));
fprintf('最低运输成本：%.2f元\n', fval);

执行上述代码后，可以得到最优运输计划为：

工厂1到地区1：0，地区2：20，地区3：80，地区4：0；
工厂2到地区1：0，地区2：100，地区3：0，地区4：80；
工厂3到地区1：90，地区2：0，地区3：70，地区4：60。

最低运输成本为1850元。

6. 结论

运输问题作为线性规划的经典应用，可以帮助企业在有限的资源和需求之间找到最低成本的运输方案。在实际应用中，运输问题不仅限于工厂和销售地区之间的运输，还可以拓展到物流、供应链管理、货运等领域。通过线性规划和数学建模工具如Matlab，企业可以在复杂的决策环境中找到最优解，实现成本最小化和效益最大化。

线性规划为我们提供了一种强大的工具来解决现实生活中的各种优化问题，通过对问题的合理建模和高效求解，可以为决策者提供有力支持。随着科学技术的发展，线性规划的应用范围不断扩大，为企业和组织提供了更加便捷的优化方法。