勤将励勉，勿望再晨。
——赠nmy
南京邮电大学通达学院《数学实验》MATLAB实验答案
一 声明
南京邮电大学通达学院《数学实验》MATLAB实验答案
答案更新时间:2023.04.28，修改了4.2的存疑部分。已更新完成，如无错误不在更新
为了方便核算，我在代码中单独将m定义为自变量运算或者直接以m=117代入，作业中可以直接代入，即代码中不出现m。本机版本为 MATLAB R2020b
由于作者解答能力有限，难免有瑕疵错误之处，还请多多海涵！本答案仅供学习参考之用，请勿直接抄袭。有错漏之处，烦请指正。联系QQ：1415520898，如有问题可通过qq或者评论区留言方式交流。
二 MATLAB下载
这里引用@dew_142857博主的相关文章最新MATLAB R2020b超详细安装教程（附完整安装文件）实测有效，按照步骤一步步来即可，为方便同学下载，这里将文中所提向公众号索要的百度网盘链接放在下方
另外安装好的MATLAB约为96.6 GB ，请提前规划好磁盘空间。
链接：https://pan.baidu.com/s/1NExZ_v-QN4Xbu4Jk1C0dEA
提取码：7won
也可以在https://matlab.mathworks.com/注册一个账户，直接在线使用
《数学实验》练习一
1.1
log(x)——>lnx；inf——>无穷
1.2
exp(x)——>eˣ；diff(y,x,n)——>y对x的n阶导函数
1.3
第一小问答案不要忘记+C；int——>处理定积分、不定积分
1.4
2020版本
写全应该是taylor((117/200+sin(x))*cos(x),x,‘Order’,5,‘ExpansionPoint’,0)，在x=0处可省略。
2010版
1.5
本次随机的中间数据为：
[8226958330713791/9007199254740992, (2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640, ((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2), (((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), ((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), (((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), ((((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), (((((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), ((((((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2), (((((((((2^(1/2)*469134536469018791^(1/2))/671088640 + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2) + 117/100)^(1/2)]
1.6
本题用到的符号较多，进行下一题时使用clear清除变量
1.7
1.7.1
1.7.2
1.8
1.8.2
也可以使用下方代码，效果一样
1.9
1.10
plot是绘制二维图形，并且是x，y的表达式是已知的或者是形如y=f(x)这样确切的表达式plot函数的基本调用格式为:plot(x,y) 其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y坐标数据。
ezplot是画出隐函数图形，是形如f(x,y)=0这种不能写出像y=f(x)这种函数的图形ezplot一元函数绘图函数ezplot(fun) ezplot(fun,[min,max])
fplot(y,[a,b])精确绘图
1.11
[X,Y] = meshgrid(-5:0.1:5);可以换成书上形式：
x=-5:0.1:5;y=x;
[X Y]=meshgrid(x,y);
《数学实验》练习二
2.1
第一个不动点为-0.0084
第二个不动点为119.0084
（2）先定义一个普世性的迭代方法，用M文件保存
函数收敛，只要初值不取14165^(1/2)/2+119/2 即第二个不动点，收敛值与初值的选取关系不大，总是收敛于-0.0084， 只有初值取 14165 ^(1/2)/2+119/2，迭代函数才以它为极限；
收敛值一定是不动点其一；
2.2
m=117;
syms x;
f=inline('1-2*abs(x-1/2)');%设定函数
x0=1/4;%设定初值
for i=1:1:10
plot(i,f(x0),'*');%用*作图，可以在括号内添加'MarkerSize',20放大点
x0=f(x0); %更新x0的值，x0类似于C语言的static类型变量
hold on %将各个点划在一张图上
end
hold off
几个图像最后都是趋于0，如果没有的话要将i的终值调大，我的后三个图的i=1:1:100;
2.3
该题是P76页例二
%MARTIN函数代码
function Martin(a,b,c,N) %N为迭代次数
f=@(x,y)(y-sign(x)*sqrt(abs(b*x-c)));
g=@(x)(a-x);
m=[0;0];
for n=1:N
m(:,n+1)=[f(m(1,n),m(2,n)),g(m(1,n))];%表示矩阵m的第n+1列。冒号表示选择所有行
end
plot(m(1,:),m(2,:),'kx');
axis equal %横纵坐标采用相等单位长度
%循环迭代N次，N是预定义的数字。在循环内部，代码更新矩阵m中的值。 具体来说，该代码通过将其第一个元素设置为f(m(1，n)，m(2，n))，将其第二个元素设置为g(m(1，n))来更新m的第n列。 第一行0后面的分号表示矩阵m初始化为两行N列的列向量。
m=117;
Martin(m,m,m,5000)
Martin(-m,-m,m,10000)
Martin(-m,m/1000,-m,15000)
Martin(m/1000,m/1000,0.5,20000)
2.4
（1）
%此小问无需在卷面作答，且每人选的数不一样，仔细看题目！！！
m=117;
syms x;
diff(subs((100*x+117)/(x^2+100),x,117^(1/3))) %对默认的变量进行一次的求导
%我取的是a=100，c=1；最后结果的绝对值应小于1才可以，否则另取
ans =
0
（2）
syms x;
m=117;
f=inline('(100*x+117)/(x^2+100)');
x0=10;% 任取一个初值
for i=1:20;
x0=f(x0);
fprintf('%g,%g\n',i,x0);
end
%我的运行结果
1,5.585
2,5.14893
3,4.99475
4,4.93387
5,4.90889
6,4.89849
7,4.89413
8,4.8923
9,4.89153
10,4.89121
11,4.89107
12,4.89101
13,4.89099
14,4.89098
15,4.89098
16,4.89097
17,4.89097
18,4.89097
19,4.89097
20,4.89097
（3）
根据个人体会回答
函数迭代的收敛速度与初值的选取关系不大；
迭代初值对迭代的收敛性存在影响，但是这种影响存在不确定性，没有发现可循的规律；
用自己的话改一下即可
2.5
syms x;
y=sin(x);
y1=taylor(sin(x),x,'Order',2);
y2=taylor(sin(x),x,'Order',4);
y3=taylor(sin(x),x,'Order',6);
fplot([y y1 y2 y3])
xlim([-3/2*pi 3/2*pi])
grid on
legend('sin(x)','approximation of sin(x) up to O(x^1)','approximation of sin(x) up to O(x^3)','approximation of sin(x) up to O(x^5)')
（2）
syms x;
y=sin(x);
y1=taylor(sin(x),x,'Order',8);
y2=taylor(sin(x),x,'Order',10);
y3=taylor(sin(x),x,'Order',12);
fplot([y y1 y2 y3])
xlim([-3/2*pi 3/2*pi])
grid on
legend('sin(x)','approximation of sin(x) up to O(x^7)','approximation of sin(x) up to O(x^9)','approximation of sin(x) up to O(x^(11))')
(3)
《数学实验》练习三
3.1
A=str2sym('[117,117-4;6-117,10-117]');%表示符号表达式
[P,D]=eig(A);
Q=inv(P);
syms n;
x=[1;2];
xn=P*(D.^n)*Q*x
xn =
(339*6^n)/2 - (337*4^n)/2 - (559*0^n)/111
2*0^n + (337*4^n)/2 - (333*6^n)/2
3.2
A=str2sym('[117,117-4;6-117,10-117]');
B=1/10.*A;
[P,D]=eig(B);
Q=inv(P);
syms n;
x=[1;2];
xn=P*(D.^n)*Q*x
xn =
(339*(3/5)^n)/2 - (337*(2/5)^n)/2 - (559*0^n)/111
2*0^n + (337*(2/5)^n)/2 - (333*(3/5)^n)/2
3.3
%教材P136页原题
A=[9,5;2,6];
t=[];
for i=1:20
x=2*rand(2,1)-1;
t(length(t)+1,1:2)=x;
for j=1:40
x=A*x;
t(length(t)+1,1:2)=x;
end
end
plot(t(:,1),t(:,2),'*')
grid('on')
（2）可以看到，迭代阵列似乎在一条通过原点的直线上。
（3）
A=[9,5;2,6]; a=[];
x=2*rand(2,1)-1;
for i=1:20
a(i,1:2)=x;
x=A*x;
end
for i=1:20
if a(i,1)==0
else t=a(i,2)/a(i,1);
fprintf('%g,%g\n',i,t);
end
end
%结果
1,0.911983
2,0.551028
3,0.451391
4,0.418261
5,0.406586
6,0.402388
7,0.400867
8,0.400315
9,0.400115
10,0.400042
11,0.400015
12,0.400006
13,0.400002
14,0.400001
15,0.4
16,0.4
17,0.4
18,0.4
19,0.4
20,0.4
（4）
极限值是图像直线的斜率
按照自己语言组织下面任意一条
- 最终稳定值为迭代矩阵的特征值之一。
- 如果迭代矩阵有多个线性无关的特征向量对应于同一个特征值，那么最终稳定值将是这些特征向量线性组合的结果。
- 稳定值是迭代矩阵的特征向量，对应的特征值为1。而迭代矩阵的特征值和特征向量则可以通过特征方程来求得。
3.4
书P141相似题
m=117;
A=[m-1,m;1-m,-m];
p=[0.4;0.6];%选择合适初始向量，要求和为1
[P,D]=eig(A)%P每列是特征向量，D主对角线元素是特征值
for i=1:20
p(:,i+1)=A*p(:,i);
end
fprintf('%2f,%2f\n',p)
还可以使用下面的方法求稳定值
m=117;
A=[m,1/4-m;m-3/4,1-m];
x0=[0.4;0.6];
n=10000;
y = A^n * x0
结果
%A=[m,6-m;m-2,8-m]
%A=[m,1/4-m;m-3/4,1-m]
%A=[m-1,m;1-m,-m]
（4）ps：本题较难，可适当放弃
在线性映射迭代中，迭代矩阵的稳定性取决于其特征值的大小和分布。特征值是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵在线性变换下的变化情况。
如果迭代矩阵的所有特征值的绝对值都小于1，那么迭代矩阵就是稳定的，每次迭代后矩阵的元素值都会趋近于一个稳定值。
但是，如果迭代矩阵存在特征值的绝对值大于等于1，那么迭代矩阵就是不稳定的。这种情况下，每次迭代后矩阵的元素值都会趋近于无穷大或无穷小，从而导致迭代结果失效。
另外，如果迭代矩阵存在多个特征值相同的情况，那么迭代矩阵也可能不稳定。这种情况下，迭代矩阵的特征向量可能会出现非常大的幅度波动，从而导致迭代结果不可靠。
因此，对于二维矩阵的线性映射迭代，需要对迭代矩阵的特征值进行分析，以确定其稳定性。如果迭代矩阵不稳定，需要采取一些措施，如调整迭代步长或使用更稳定的迭代算法，以确保迭代结果的可靠性。
3.5
%如果默认b>a
>> I=0;
>> m=[];
>> n=1000;
>> for a=1:n
for c=a+1:n
b=sqrt(c^2-a^2);
if(b==floor(b))&(b>a)&(c==b+2)
I=I+1;m(:,I)=[a,b,c];
end
end
end
>> m
m =
1 至 17 列
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195 224 255 288 323 360
10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226 257 290 325 362
18 至 29 列
40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62
399 440 483 528 575 624 675 728 783 840 899 960
401 442 485 530 577 626 677 730 785 842 901 962
>>
公式：a=2m b=m^2-1 c=m^2+1(m>2,m为整数）；
即：
{
a,b,c}={
(2u)^2,(u^2-1)^2,(u^2+1)^2}
上课时默认b>a，下面给出a、b关系不确定是时的代码，无需写在试卷上
abc0=zeros(1000,3);
k=0;
for c=3:1000
b=c-2;
a=sqrt(c^2-b^2);
if(mod(a,1)==0)
k=k+1;
abc0(k,:)=[a b c];
end
end
abc=abc0(1:k,:);
fprintf('所有勾股数 a b c=\n')
disp(abc)
3.6
for k=1:200
for b=1:999
a=sqrt((b+k)^2-b^2);
if((a==floor(a))&gcd(gcd(a,b),(b+k))==1)fprintf('%i,',k);
break;
end
end
end
1,2,8,9,18,25,32,49,50,72,81,98,121,128,162,169,200
k为完全平方数或者完全平方数的二倍
预测k在[200,300]之间有200,225,242,288,289
《数学实验》练习四
4.1
% 方法一：通过法方程组求解
d0=9;
x=[1.5,1.8,2.4,2.8,3.4,3.7,4.2,4.7,5.3];
y=[8.9,10.1,12.4,14.3,16.2,17.8,19.6,22.0,24.1];
d1=sum(x);d2=sum(x.^2);b1=sum(y);b2=sum(y.*x);
A=[d0,d1;d1,d2];B=[b1;b2];
u=A\B;
a0=u(1)
a1=u(2)
error=sum((y-(a0+a1.*x)).^2)
a0 =
2.8304
a1 =
4.0244
error =
0.2409
%方法二：直接求解
x=[1.5,1.8,2.4,2.8,3.4,3.7,4.2,4.7,5.3];
y=[8.9,10.1,12.4,14.3,16.2,17.8,19.6,22.0,24.1];
P=polyfit(x,y,1)
P =
4.0244 2.8304
error=sum((y-(2.8304+4.0244.*x)).^2)%误差
error =
0.2409
4.2
（1）
%我的学号尾数是7；故数据是到1920年，对应人口是106.5，第14，
%则t2=t(14)，x2=x(14)
%这段代码是用来进行数据拟合的，其中变量t和x分别代表时间和数据点。代码用log函数将数据点转换成线性形式，然后使用线性回归来拟合两个数据点的斜率和截距，最后用指数函数求出x0和k，从而得到新的函数曲线。代码中的error表示新的函数曲线与原数据点的误差平方和
t=1790:10:1980;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5];
t1=t(1);x1=x(1);
t2=t(14);x2=x(14); %此步根据学号不同而不同
A=[1,t1;1,t2];
b=[log(x1);log(x2)];
u=A\b;
x0=exp(u(1))
k=u(2)
error=sum((x0*exp(k*t)-x).^2)
x0 =
6.5242e-20
k =
0.0254
error =
1.2278e+05
（2）
t=1790:10:1920;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5];
%我的数据是到1920，所以上面的数据是截到1920年对应的106.5
y=log(x);
m=length(t);
A=[m,sum(t);sum(t),sum(t.^2)];
b=[sum(y);y*t'];
u=A\b;
x0=exp(u(1))
k=u(2)
error=sum((x0*exp(k*t)-x).^2)
x0 =
2.7207e-20
k =
0.0260
error =
681.9588
4.3
x=1:26;
y=[1807,2001,2158,2305,2422,2601,2753,2914,3106,3303,3460,3638,3799,3971,4125,4280,4409,4560,4698,4805,4884,4948,5013,5086,5124,5163];
a=[6000,2,0.01];
f=@(a,x)a(1)./(1+a(2)*exp(-a(3)*x));
[A,resnorm]=lsqcurvefit(f,a,x,y)
f(A,20)
A =
1.0e+03 *
5.7882 0.0025 0.0001
resnorm =
3.3995e+04
ans =
4.7438e+03
4.4
x=1:26;
y=[1807,2001,2158,2305,2422,2601,2753,2914,3106,3303,3460,3638,3799,3971,4125,4280,4409,4560,4698,4805,4884,4948,5013,5086,5124,5163];
a=[6000,2,0.1,0.1];
f=@(a,x)a(1)./(1+a(2)*exp(-a(3)*x-a(4)*x.^2));
[A,resnorm]=lsqcurvefit(f,a,x,y)
t=27;
while f(A,t+1)-f(A,t)>=10
t=t+1;
end
f(A,t)
A =
1.0e+03 *
5.3860 0.0021 0.0001 0.0000
resnorm =
9.1025e+03
ans =
5.3409e+03
4.5
x=1:26;
y=[1807,2001,2158,2305,2422,2601,2753,2914,3106,3303,3460,3638,3799,3971,4125,4280,4409,4560,4698,4805,4884,4948,5013,5086,5124,5163];
a=[2,0.1,0.1];%r、k、a
f=@(a,x)a(1)*exp(a(2)*x+a(3));
[A,resnorm]=lsqcurvefit(f,a,x,y)
t=27;
while f(A,t+1)-f(A,t)>=10
t=t+1;
end
f(A,t)
A =
2.4511 0.3152 -0.0841
resnorm =
2.3628e+08
ans =
Inf