运筹学-杜刚（天津大学）（未完待续）

目录

一. 绪论

1. 运筹学及其产生于发展

2. 运筹学的学科地位

3. 运筹学的内容体系

4. 运筹学的应用

二.一线性规划-模型与图解法

1. 线性规划问题及其学术模型

2. 图解法：用画图的方式求解线性规划的一种方法

3. 由图解法得到线性规划解的一些特性

二.二线性规划-单纯形法

1. 单纯形法

2. 预备知识

2.1 线性规划的标准型

2.2 非标准型化标准型

3. 基本概念

3.1 可行解与最优解

3.2 基矩阵与基变量

3.3 基本解与基本可行解

4. 基本定理

5. 单纯形法的步骤

一. 绪论
1. 运筹学及其产生于发展
- 1.1 运筹学（Operations Research，OR）是一门以定量方法为管理决策提供科学依据的学科
  - 1.1.1 管理决策是运筹学的产生源泉和应用对象；定量分析是运筹学的技术特色
  - 1.1.2 以运筹学为基础研究管理问题，就形成了管理科学学派；管理科学方法主要就是运筹学方法。因此，运筹学也可称为管理科学（Management Science，MS）
2. 运筹学的学科地位
- 2.1 哲学（系统观唯物辩证法）→基础科学（数学、系统学）→技术科学（运筹学）→工程技术（管理决策、工程优化）
3. 运筹学的内容体系
- 3.1 运筹学具有多分支的特点。其主要分支包括：数学规划（线性/非线性）、动态规划、图与网络方法、决策分析、存储论、排队论、对策论和随机模拟等
- 3.2 如果把运筹学及相关内容比作一颗大树，则大树的主干就是“最优化”
- 3.3 大树的根系是其基础科学，大树的分枝是各个角度和方向上的最优化，大树的茂密枝叶是其丰富的内容，大树的果实是运筹学在各个领域中的应用成果

4. 运筹学的应用

4.1 应用的一般程序：明确问题→选择模型→确定参数→计算求解→结果分析（然后向之前的各个阶段反馈从而进行适当的修正）

运筹学方法	线性规划	非线性规划	0-1规划	动态规划	网络分析	排队论	存储论	决策分析
应用	生产结构优化	投资组合优化	选址问题	资源分配问题	工程计划优化	服务系统优化	订货库存优化	机会选择

二.一线性规划-模型与图解法
1. 线性规划问题及其学术模型
- 1.1 在生产管理和经营活动中，经常需要解决一个问题：如何合理地利用有限的资源，从而得到最大的效益
- 1.2 线性规划模型三要素
  - 1.2.1 决策变量：需决策的量，即待求的未知数
  - 1.2.2 目标函数：需优化的量，即欲达到的目标，用决策变量的表达式表示
  - 1.2.3 约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示
- 1.3 线性规划模型的一个基本特点：目标和约束都是变量的线性表达式，如果模型中出现非线性表达式（如，指数、对数），则不属于线性规划
- 1.4 一般模型： Max z=CX，s.t. AX<=b，X>=0
  - 1.4.1 其中，X称为决策变量向量，C称为价格系数向量，A称为技术系数矩阵，b称为资源限制向量
  - 1.4.2 A中的列表示资源单耗，在不同的企业，资源单耗是不同的，反映了不同公司技术水平的差异，因此称为技术系数矩阵
2. 图解法：用画图的方式求解线性规划的一种方法
- 2.1 它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地说明线性规划解的一些重要特性
- 2.2 图解法步骤
  - 2.2.1 做约束的图形：先做非负约束的图形；再做资源约束的图形
  - 2.2.2 做目标的图形：对于目标函数z=CX，任给z两个不同的值，便可做出相应的两条直线，由此可以看出当z增大时，直线向哪个方向移动（从而在可行域中找到z的最大值，此时，该直线在可行域的边界）
  - 2.2.3 求出最优解：将目标直线向使目标z增大的方向移动，直至可行域的边界为止，这时其与可行域的切点 $X^{*}$ 即为最优解
3. 由图解法得到线性规划解的一些特性
- 3.1 线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体
  - 3.1.1 凸多面体是凸集的一种
  - 3.1.2 所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集
  - 3.1.3 凸集中的“极点”，又称顶点或者角点，是指它属于凸集，但不能表示成集中某二点连线的内点，如多边形的顶点
- 3.2 线性规划的最优解（若存在）必能在可行域的顶点获得
  - 3.2.1 因此，有图解法可知，只有当目标直线平移到边界时，才能使目标z达到最大限度的优化
  - 3.2.2 本性质的重要意义：它使得在可行域中寻优的工作由“无限”上升为“有限”，从而为线性规划的算法设计提供了重要基础
- 3.3 线性规划解的几种情形
  - 3.3.1 唯一最优解：极点只有一个
  - 3.3.2 多重最优解：目标直线与某约束直线斜率相同，且该边界为取最优解的位置，则该边界上的所有点均为最优解
  - 3.3.3 无可行解：可行域是所有约束的交集，若交集为空，则可行域为空。此时，无可行解
  - 3.3.4 无有限最优解（无界解）：可行域无界，且目标直线的优化方向是无界的方向
  - 3.3.5 若实际建模求解中出现了后两种情形，需要检查模型建立是否有问题。约束为何不相交？检查是否有不符合实际的情况；对于无界解，检查是否少写了约束条件
二.二线性规划-单纯形法
1. 单纯形法
- 1.1 该方法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格提出。尽管后来又有许多算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色保持主要的算法地位
2. 预备知识
- 2.1 线性规划的标准型
  - 2.1.1 来自实际问题的线性规划模型形式各异，在用单纯形法求解之前，先要将模型化为统一的形式——标准型
  - 2.1.2 标准型：Max z= CX；s.t. AX=b，X>=0.其中， $A_{m\times n}$ 的秩为m（m<n），b>0
  - 2.1.3 标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
- 2.2 非标准型化标准型
  - 2.2.1 Min型化为Max型
    - 2.2.1.1 Min z=CX → Max $z^{'}$ =-CX
    - 2.2.1.2 因为，求一个函数的极小点，等价于求该函数的负函数的极大点
    - 2.2.1.3 注：Min化为Max后，最优解不变，最优值差负号
  - 2.2.2 不等式约束化为等式约束
    - 2.2.2.1 以 $9x_{1}+4x_{2}\leqslant 360$ 为例
    - 2.2.2.2 之所以“不等”是因为左右两边有一个差额，可称为“松弛量”。若在左边加上这个松弛量，则化为等式。而这个松弛量也是变量，记为 $x_{3}$ ，则有 $9x_{1}+4x_{2}+x_{3}\leqslant 360$
    - 2.2.2.3 等式约束中添加完松弛变量后，还要把松弛变量加入非负约束
    - 2.2.2.4 标准型与原模型解的关系：标准型最优解的非松弛变量就是原模型的最优解
    - 2.2.2.4 一般地，记记松弛变量的向量为 $X_{s}$ ，则 $s.t.\left\{\begin{matrix} AX\leqslant b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right. \rightarrow s.t.\left\{\begin{matrix} AX+IX_{s}=b\\ X,X_{s}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$ ，或 $s.t.\left\{\begin{matrix} AX\geqslant b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right. \rightarrow s.t.\left\{\begin{matrix} AX-IX_{s}=b\\ X,X_{s}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
  - 2.2.3 当模型中有某变量 $x_{k}$ 没有非负要求，称为自由变量，则可令 $x_{k}=x_{k}^{'}-x_{k}^{''}, x_{k}^{'},x_{k}^{''}\geqslant 0$ ，即可化为标准型
3. 基本概念
- 3.1 可行解与最优解
  - 3.1.1 可行解：满足全体约束的解，记为X
  - 3.1.2 最优解：可行解中最优的，记为 $X^{*}$ ，则对任意可行解X，有 $CX\leqslant CX^{*}$
  - 3.1.3 直观上，可行解是可行域中的点，是一个可行的方案；最优解是可行域的边界角点，是一个最优方案
- 3.2 基矩阵与基变量
  - 3.2.1 基矩阵（简称基）：系数矩阵A中的m（行数）阶可逆子阵，记为B。其余部分称为非基矩阵，记为N
  - 3.2.2 基向量：基矩阵B中的每一列；非基矩阵中的每一列称为非基向量
  - 3.2.3 基变量：与基向量对应的决策变量称为基变量，其所组成的的向量记为 $X_{B}$ ；与非基向量对应的决策变量称为非基变量，其所组成的向量记为 $X_{N}$
  - 3.2.4 一般地， $m\times n$ 阶矩阵A中基的个数最多有 $C_{n}^{m}$ 个
- 3.3 基本解与基本可行解
  - 3.3.1 当A中的基B取定后，不妨设B表示A中的前m列，则可记A=(B N)，相应的
    - 约束中的AX=b可表示为 $(B\ N) \begin{pmatrix} X_{B}\\ X_{N} \end{pmatrix} =b$ ，即 $BX_{B}+NX_{N}=b$
    - 解得 $X_{B}=B^{-1}b-B^{-1}NX_{N}$ ，当 $X_{N}=0$ 时，有 $X_{B}=B^{-1}b$ ， $X=(B^{-1}b\ 0)^{T}$
    - 称AX=b的解 $X=(B^{-1}b\ 0)^{T}$ 为线性规划的一个基本解。可见一个基本解是由一个基决定的
  - 3.3.2 注：基本解只是资源约束的解，并未要求其非负，因此未必可行
  - 3.3.3 称非负的基本解为基本可行解（简称基可行解）
4. 基本定理
- 4.1 线性规划的可行域是一个凸多面体
- 4.2 线性规划的可行域的顶点与基本可行解一一对应
- 4.3 线性规划的最优解（若存在）必能在可行域的顶点获得。对于某条边界都是最优解的情形，由于该边界必有两个顶点，这两个顶点也是最优解。
5. 单纯形法的步骤
- 5.1 单纯形法是一种迭代的算法，它的思想是在可行域的顶点——基本可行解中寻优。由于顶点是有限个，算法经有限步可终止
- 5.2 步骤
  - 5.2.1 确定初始基本可行解
  - 5.2.2 检验其是否最优。若是，则停止算法；若不是则进行下一步
  - 5.2.3 寻找更好的基本可行解。然后，回到第二步，检验该可行解是否最优
- 5.3 确定初始基可行解：由于基可行解是由一个可行基决定的，因此，确定初始基可行解相当于确定一个初始可行基
  - 5.3.1 若A中含有单位阵I，则 $B_{0}=I$ ；若A中不含I，则要用人工变量法构造一个I
  - 5.3.2 当 $B_{0}=I$ 时， $X_{0}=(B_{0}^{-1}b\ 0)^{T}=(b\ 0)^{T}\geq 0$ ，可行
- 5.4 最优性检验（用目标进行检验）
  - 5.4.1 目标z=CX，
    - $z=CX=(C_{B}\ C_{N})(X_{B}\ X_{N})^T=C_{B}X_{B}+C_{N}X_{N}$
    - 因为 $X_{B}=B^{-1}b-B^{-1}NX_{N}$ ，所以 $z=C_{B}(B^{-1}b-B^{-1}NX_{N})+C_{N}X_{N}=C_{B}B^{-1}b+(C_{N}-C_{B}B^{-1}N)X_{N}$
    - 令 $\sigma =C_{N}-C_{B}B^{-1}N$ 。当 $\sigma \leqslant 0$ 时，由于上式第一项恒正，仅当 $X_{N}=0$ 时，z取最大值。这说明此时的解为最优解（基本可行解是令 $X_{N}=0$ 获得的）
    - 这里 $\sigma$ 称为检验数向量，其每一个分量称为检验数
  - 5.4.2 方法
    - 5.4.2.1 计算每个 $x_{j}$ 的检验数 $\sigma _{j}=c_{j}-C_{B}B^{-1}P_{j}$
    - 5.4.2.1 若所有 $\sigma_{j} \leqslant 0$ ，则当前解为最优解；否则，非最优，转而寻找更好的基可行解
- 5.5 寻找更好的基可行解
  - 5.5.1 由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1。因此，本步骤也称为基变换
  - 5.5.2 基变换的原则。改善：z1>z0；可行： $B_{1}^{-1}b\geqslant 0$
  - 5.5.3 基变换的方法：