线性递推数列的通项公式（非常简单，三步完成）

获取线性递推数列通项的方法有很多（参考百度百科：斐波那契数列），这里简单介绍一种容易理解的方法：待定系数法构造等比数列求特征方程，最终求得通项公式。

证明过程理解即可，实际计算起来非常简单的。

理论推导：

通常我们得到的递推数列是这样的形式：

$f(n+2)=mf(n+1)+nf(n)$

目标是求 $f(n)$ 的通项公式。

首先，上面的递推数列通常可以写成下面这种形式：

$af(n+2)+bf(n+1)+cf(n)=0$ ---------------------（式1）

也叫二阶差分式（或者叫递推式）。

为了求出一阶差分式，我们可以将原式写成如下形式：

$\begin{align*} f(n+2)-x_{1}f(n+1)&=x_{2}(f(n+1)-x_{1}f(n))\\ &=x_2^{n-1}(f(2)-x_1f(1)) \end{align*}$

其中 $x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$ ，因此上式就是以 $f(n+1)-x_1f(n)$ 为元素的等比数列，公比为 $x_2$ 。

通过移项同时可得:

$\begin{align*} f(n+2)-x_2f(n+1)&=x_1(f(n+1)-x_2f(n))\\ &=x_1^{n-1}(f(2)-x_2f(1)) \end{align*}$

与上面的式子完全等价。

两式子相减则有：

$(x_1-x_2)f(n)=x_1^n-x_2^n$

因此通项公式就求出来了：

$f(n)=\frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2}$

现在需要解出x1,x2：
利用二次方程根与系数的关系，可知 $x_1,x_2$ 恰为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根，注意这里的系数abc就是上面二阶差分式（式1）的系数，不用计算，可以直接拿来用。该二次方程就是原差分方程的特征方程。

求方程的根解除x1，x2后带入通项公式即可得到f(n)的表达式。

1.移项写出二阶差分式，得到系数abc，也就获得了二次方程的系数abc。

2.解出二次方程的两个根x1，x2。

3.带入f(n)的通项公式即可。

例子：

斐波那契数列，它满足 $f(1)=f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n)$ ,

首先写出移项到左边的二阶差分式的标准形式： $f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0$ ，获得系数abc分别为1，-1，-1，那么差分式的特征方程就为 $x^2-x-1=0$ ，解得 $x_1=\frac{1+\sqrt5}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$

带入通用的通项公式即可得到f(n)的通项公式：

$f(n)=\frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2}=\frac{(1+\sqrt5)^n-(1-\sqrt5)^n}{2^n\sqrt5}$

完。

另外需要注意：该通项公式仅适用于线性的递推数列！