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我们以伍德里奇《计量经济学导论：现代方法》的“第4章 多元回归分析：推断”的案例4.1为例，利用WAGE1中526个工人的观测数据，研究其工资和受教育程度、工作经验和任职时长的关系。构建多元线性回归模型如下：
l o g ( w a g e ) = β 0 + β 1 e d u c + β 2 e x p e r + β 3 t e n u r e + u log(wage)=\beta_0+\beta_1educ+\beta_2exper+\beta_3tenure+u log(wage)=β0+β1educ+β2exper+β3tenure+u
- log(wage)：工资的对数，也记作lwage
- educ：受教育程度
- exper：工作经验
- tenure：任职时长
代码如下：
import wooldridge as woo
import statsmodels.formula.api as smf
wage1 = woo.dataWoo('wage1')
#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='lwage ~ educ + exper + tenure', data = wage1)
results = reg.fit()
print(results.summary())
模型回归结果如下：
l o g ( w a g e ) ^ = 0.2844 + 0.0920 e d u c + 0.0041 e x p e r + 0.0221 t e n u r e + u \widehat{log(wage)}=0.2844+0.0920educ+0.0041exper+0.0221tenure+u log(wage)
=0.2844+0.0920educ+0.0041exper+0.0221tenure+u
本例研究自变量educ、exper、tenure之间是否存在多重共线性。
一、多重共线性的产生原因
一般地，产生多重共线性的主要原因有以下几个方面：
-
模型设定错误：这个不需要解释，模型设定错误的时候什么情况都有可能发生，一定要克服。
-
数据采集方法不当：如果在总体中的一个较小的范围内抽样，自变量没有显著的波动会导致自变量和截距项之间产生多重共线性的现象。
-
经济变量之间具有共同变化趋势：如时间序列数据中，GDP、就业人口、消费等数据的变化常常会具有相同的时间趋势。
-
模型中包含滞后变量：在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济关系。例如，当期收入和前期收入间有较强的线性相关性。
-
多项式的引入：如模型中包括 X X X, X 2 X^2 X2, X 3 X^3 X3作为解释变量，当 X变化不大时会呈现出严重的多重共线性。
二、多重共线性的检验
1、简单相关系数法
简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种简便方法。一般而言，如果每两个解释变量的简单相关系数比较高，例如 ∣ r ∣ > 0.8 ，则可认为存在着较严重的多重共线性。
但我们需要注意的是，较高的简单相关系数只是多重共线性存在的充分条件，而不是必要条件。特别是在多于两个解释变量的回归模型中，有时较低的相关系数也可能存在多重共线性。因此并不能简单地依据相关系数进行多重共线性的准确判断。
data = wage1[['educ','exper','tenure']]
print(data.corr())
结果为：
educ exper tenure
educ 1.000000 -0.299542 -0.056173
exper -0.299542 1.000000 0.499291
tenure -0.056173 0.499291 1.000000
本例中，自变量的相关系数均小于0.5。
2、方差膨胀因子法(variance inflation factor，VIF)
V I F i = 1 1 − R i 2 VIF_i=\frac{1}{1-R_i^2} VIFi=1−Ri21
VIF值越大则共线性问题越明显，通常以10作为判断边界。当VIF<10不存在多重共线性；当10<=VIF<100,存在较强的多重共线性；当VIF>=100, 存在严重多重共线性。
方法一：自行计算VIF
#计算eudc方差膨胀因子VIF
reg1 = smf.ols(formula=' educ ~ exper + tenure', data = wage1)
results1 = reg1.fit()
vif1 = (1 - results1.rsquared)**(-1)
#计算exper方差膨胀因子VIF
reg2 = smf.ols(formula=' exper ~ educ + tenure', data = wage1)
results2 = reg2.fit()
vif2 = (1 - results2.rsquared)**(-1)
#计算tenure方差膨胀因子VIF
reg3 = smf.ols(formula=' tenure ~ educ + exper', data = wage1)
results3 = reg3.fit()
vif3 = (1 - results3.rsquared)**(-1)
print(vif1,vif2,vif3)
方法二：运用statsmodel库中的variance_inflation_factor,可以简便的计算所有变量的vif
statsmodels.stats.outliers_influence.variance_inflationfact(exog,exogidx)
exog即为自变量矩阵，exog_idx为自变量所在的列
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
exog = reg.exog #获取自变量矩阵（第一列为截距项）
exog_names = reg.exog_names #获取自变量名称（第一个为截距项）
vif = []
for i in range(exog.shape[1]-1):
vif.append(variance_inflation_factor(exog,i+1))
print(f'{
exog_names[i+1]} 的方差膨胀因子VIF = {
vif[i]}')
运行结果为：
educ 的方差膨胀因子VIF = 1.1127707502838835
exper 的方差膨胀因子VIF = 1.4776177726317783
tenure 的方差膨胀因子VIF = 1.3492955605611776
我们也可以制作VIF的表格，编制代码如下：
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
exog = reg.exog #获取自变量矩阵（第一列为截距项）
exog_names = reg.exog_names #获取自变量名称（第一个为截距项）
vif_info = pd.DataFrame()
vif_info['exog'] = exog_names[1:]
vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(exog, i+1) for i in range(exog.shape[1]-1)]
vif_info = vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
print(vif_info)
结果为：
exog VIF
1 exper 1.477618
2 tenure 1.349296
0 educ 1.112771
如果在模型中引入解释变量的平方项，则容易引起多重共线性。考虑在上述回归中加入工作经验exper的平方，在进行多重共线性检验。
#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='lwage ~ educ + exper + tenure + I(exper**2)', data = wage1)
results = reg.fit()
exog = reg.exog #获取自变量矩阵（第一列为截距项）
exog_names = reg.exog_names #获取自变量名称（第一个为截距项）
vif_info = pd.DataFrame()
vif_info['exog'] = exog_names[1:]
vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(exog, i+1) for i in range(exog.shape[1]-1)]
vif_info = vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
print(vif_info)
结果为：
exog VIF
1 exper 13.866460
3 I(exper ** 2) 13.492686
2 tenure 1.355685
0 educ 1.140644
从上表可知，变量 e x p e r exper exper和 e x p e r 2 exper^2 exper2的VIF均大于10，故存在多重共线性。进一步，将 e x p e r 2 exper^2 exper2对 e x p e r exper exper进行回归。
reg = smf.ols(formula=' I(exper**2) ~ exper ', data = wage1)
results = reg.fit()
print(results.summary())
结果为：
OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: I(exper ** 2) R-squared: 0.923
Model: OLS Adj. R-squared: 0.923
Method: Least Squares F-statistic: 6323.
Date: Sun, 07 Aug 2022 Prob (F-statistic): 1.35e-294
Time: 16:23:54 Log-Likelihood: -3448.6
No. Observations: 526 AIC: 6901.
Df Residuals: 524 BIC: 6910.
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept -268.8303 11.936 -22.523 0.000 -292.279 -245.382
exper 43.6188 0.549 79.514 0.000 42.541 44.696
==============================================================================
Omnibus: 44.401 Durbin-Watson: 1.867
Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 53.524
Skew: 0.770 Prob(JB): 2.39e-12
Kurtosis: 3.264 Cond. No. 35.0
==============================================================================
Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
上表显示，此回归的 R 2 R^2 R2高达0.923，即变量 e x p e r exper exper可以解释其平方项量$exper2$92%的变动。说明$exper$和$exper2$包含的信息基本相同，故会导致严重的多重共线性。
三、多重共线性的解决
如果发现存在多重共线性，可以采取以下处理方法。
（1）如果不关心具体的回归系数，而只关心整个方程预测被解释变量的能力，则通常可以不必理会多重共线性（假设整个方程是显著的）。这是因为，多重共线性的主要后果是使得对单个变量的贡献估计不准，但所有变量的整体效应仍可以较准确地估计。
（2）如果关心具体的回归系数，但多重共线性并不影响所关心变量的显著性，那么也可以不必理会。即使在有方差膨胀的情况下，这些系数依然显著；如果没有多重共线性，则只会更加显著。
（3）如果多重共线性影响到所关心变量的显著性，则需要解决多重共线性问题。
事实上，解释变量之间的相关性是普遍存在的，在一定程度上也是允许的。因此，处理多重共线性最常见的方法是“无为而治”。
常用的五种解决多重共线性的方法：
1、增大样本量
此法可以消除由于数据量不足而出现的偶然共线性的情况；但是存在着即使增加了样本量可能还无法解决共线性的问题，因为变量间确实存在着多重共线性的问题。
2、岭回归法
其是一种专用于共线性问题的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计。她是通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价来获得更实际和可靠性更强的回归系数。因此岭回归在存在较强共线性的回归应用中较为常见。
3、逐步回归法
其是通过每次引入一个自变量并进行统计检验，然后逐步引入其他变量，同时对所有变量的回归系数检验。如果原来的变量由于后面的变量引入而变得不显著，则将其剔除，逐步得到回归方程。
4、主成分回归
将原始参与建模的变量转换为少数几个主成分，每个主成分是原始变量的线性组合，然后基于主成分做回归分析，这样可以在不丢失重要数据特征的前提下避开共线性。
5、变量标准化
一般来说，如果回归方程中包含解释变量的多项式，则通常回导致多重共线性。一个可能的解决方法是将变量标准化，即减去均值，除以标准差。
继续上面的例子，先计算变量exper的均值和标准差，将其标准化，并记标准化变量为exper_s，并将其二次项也作为自变量，计算各变量的方差膨胀因子。
wage1['exper_s']=(wage1['exper']-wage1['exper'].mean())/wage1['exper'].std() #标准化
#建立回归模型:
reg = smf.ols(formula='lwage ~ educ + exper_s + tenure + I(exper_s**2)', data = wage1)
results = reg.fit()
exog = reg.exog #获取自变量矩阵（第一列为截距项）
exog_names = reg.exog_names #获取自变量名称（第一个为截距项）
vif_info = pd.DataFrame()
vif_info['exog'] = exog_names[1:]
vif_info['VIF'] = [variance_inflation_factor(exog, i+1) for i in range(exog.shape[1]-1)]
vif_info = vif_info.sort_values('VIF', ascending=False)
print(vif_info)
结果为：
exog VIF
1 exper_s 2.063668
3 I(exper_s ** 2) 1.634273
2 tenure 1.355685
0 educ 1.140644
上表显示，VIF的最大值仅为2.06，故认为基本不存在多重共线性。为验证这一点，将 e x p e r s 2 exper_s^2 expers2对 e x p e r s exper_s expers进行回归。
reg = smf.ols(formula=' I(exper_s**2) ~ exper_s', data = wage1)
results = reg.fit()
print(results.summary())
结果为：
OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: I(exper_s ** 2) R-squared: 0.368
Model: OLS Adj. R-squared: 0.367
Method: Least Squares F-statistic: 305.3
Date: Sun, 07 Aug 2022 Prob (F-statistic): 3.34e-54
Time: 16:16:10 Log-Likelihood: -704.98
No. Observations: 526 AIC: 1414.
Df Residuals: 524 BIC: 1422.
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept 0.9981 0.040 24.718 0.000 0.919 1.077
exper_s 0.7062 0.040 17.472 0.000 0.627 0.786
==============================================================================
Omnibus: 44.401 Durbin-Watson: 1.867
Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 53.524
Skew: 0.770 Prob(JB): 2.39e-12
Kurtosis: 3.264 Cond. No. 1.00
==============================================================================
Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
上表显示，此回归的 R 2 R^2 R2为0.268，相对于 e x p e r 2 exper^2 exper2对 e x p e r exper exper回归 R 2 R^2 R2(0.923)大大下降。