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完美二叉树、完全二叉树、完满二叉树
一、完美二叉树（Perfect Binary Tree）
对于完美二叉树，我们常用的是另一个名称：满二叉树
完美二叉树的定义：
完美二叉树是一种特殊的完全二叉树，每层都是满的，像一个稳定的三角形
二、完全二叉树**(Complete Binary Tree)**
完全二叉树的定义：
全二叉树从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。
其实理解完全二叉树可以借助于**栈(stack)**的思想。
具体就是我们可以将一棵完美二叉树的所有节点按照编号1…15的顺序依次入栈。然后对栈每一次出栈，栈里保存的结点集构造一棵二叉树都是一棵完全二叉树
完美二叉树和完全二叉树：
下图是一棵完美二叉树:
现在将编号为15, 14, …, 9的叶子结点从右到左依次拿掉或者拿掉部分，则是一棵完全(Complete)二叉树
例如将上图中的编号为15, 14, 13, 12, 11叶子结点都拿掉(从右到左的顺序)：
但是如果不是依次拿掉就不满足完全二叉树
例如将上图编号15，14，13，11叶子结点都拿掉(从右到左的顺序)：
那可以把它变成完全二叉树吗？
要不就是在拿掉编号11的时候也拿掉编号12，要不就是让编号11座位编号5的右孩子，则变成一棵完全二叉树
三、完满二叉树**(Full Binary Tree)**
所有非叶子结点的度都是2。（只要你有孩子，你就必然是有两个孩子。）
四、如何计算完全二叉树的结点数？
222. 完全二叉树的节点个数
这题其实很简单，但是为了达到较高效的时间复杂度，我们可以用到上面介绍到的完满二叉树
- 如果是求一棵普通二叉树的结点数，只需要这样遍历就能得到结果，时间复杂度为 O(N)：
public int countNodes(TreeNode root) {
if (root == null) return 0;
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
- 如果是求一棵满二叉树，节点总数和树的高度呈指数关系：
public int countNodes(TreeNode root) {
int h = 0;
// 计算树的高度
while (root != null) {
root = root.left;
h++;
}
// 节点总数就是 2^h - 1
return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}
- 完全二叉树比普通二叉树特殊，但又没有满二叉树那么特殊，计算它的节点总数，可以说是普通二叉树和满二叉树的结合版
public int countNodes(TreeNode root) {
TreeNode l = root, r = root;
// 沿最左侧和最右侧分别计算高度
int hl = 0, hr = 0;
while (l != null) {
l = l.left;
hl++;
}
while (r != null) {
r = r.right;
hr++;
}
// 如果左右侧计算的高度相同，则是一棵满二叉树
if (hl == hr) {
return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
}
// 如果左右侧的高度不同，则按照普通二叉树的逻辑计算
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}
结合刚才针对满二叉树和普通二叉树的算法，上面这段代码应该不难理解，就是一个结合版，但是其中降低时间复杂度的技巧是非常微妙的。
复杂度分析：
这个算法的时间复杂度是 O(logN*logN)，这是怎么得到的呢？
直觉感觉好像最坏情况下是 O(N*logN) 吧，因为之前的 while 需要 logN 的时间，最后要 O(N) 的时间向左右子树递归：
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
但是关键点在于，这两个递归只有一个会真的递归下去，另一个一定会触发 hl == hr 而立即返回，不会递归下去。
因为一棵完全二叉树的两棵子树，至少有一棵是满二叉树，如图所示：
很明显，由于完全二叉树的性质，其子树一定有一棵是满的，所以一定会触发
hl == hr，只消耗 O(logN) 的复杂度而不会继续递归。
综上，算法的递归深度就是树的高度 O(logN)，每次递归所花费的时间就是 while 循环，需要 O(logN)，所以总体的时间复杂度是 O(logN*logN)。
所以说，「完全二叉树」这个概念还是有它存在的原因的，不仅适用于数组实现二叉堆，而且连计算节点总数这种看起来简单的操作都有高效的算法实现。