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题目
问题
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题目

如图1所示，由 $x (t)$ 信号 $x_1(t)$ 、信号 $x_2(t)$ 和信号 $x_3(t)$ 的和构成。对 $x (t)$ 进行均匀采样（采样周期为 $T_s=0.25ms$ ），获得其样本信号 $x(nT_s)$ 。
在这里插入图片描述
其中， $x_i(t)=A_icos(2\pi f_it)$ ，参数 $A_i$ 和 $f_i$ 如下表所示

	i= 1	i= 2	i= 3
$A_i$	0.2	2	0.4
$f_i$	0.99kHz	0.98kHz	1.6kHz

问题

（供参考）

傅里叶变换

（1）求 $x (t)$ 的傅立叶变换，并画出其幅频响应曲线。

解：由于 $x (t)$ 由信号 $x_1(t)$ 、信号 $x_2(t)$ 和信号 $x_3(t)$ 的和构成。由此可将 $x (t)$ 表示为:

$\sum\limits_{i = 1}^3 { {x_i}\left( t \right)} {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^3 { {A_i}\cos ( {2\pi {f_i}t} )}$

由傅里叶变换公式 $X(j\omega ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)} {e^{ - j\omega t}}dt$

${\cal F}\left[ {x\left( t \right)} \right] = {\cal F}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^3 { {x_i}\left( t \right)} } \right]\ = \sum\limits_{i = 1}^3 { {A_i}\pi \left[ {\delta (\omega - 2\pi {f_i}) + \delta (\omega + 2\pi {f_i})} \right]} \\ = 0.2\pi \left[ {\delta (\omega - 2*990\pi ) + \delta (\omega + 2*990\pi )} \right] + \\ 2\pi \left[ {\delta (\omega - 2*980\pi ) + \delta (\omega + 2*980\pi )} \right] + \\ 0.4\pi \left[ {\delta (\omega - 2*1600\pi ) + \delta (\omega + 2*1600\pi )} \right]$

%傅里叶变换
clc;
clear;
syms t;
x1=0.2*cos(2*pi*1280*t);
x2=2*cos(2*pi*1290*t);
x3=0.4*cos(2*pi*1800*t);
x=x1+x2+x3; %x(t)信号由x1、x2、x3的和组成。
F=fourier(x)

%幅频响应曲线
close all;
clear;
clc;
Ts=0.00025;              %采样周期，以0.25ms的周期均匀采样
Fs=1/Ts;				 %采样频率
t=0:Ts:1-Ts;             %采样间隔时长
x1=0.2*cos(2*pi*990*t);  %三分量信号
x2=2*cos(2*pi*980*t);
x3=0.4*cos(2*pi*1600*t);
x=x1+x2+x3; %x(t)信号由x1、x2、x3的和组成。
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(t,x);
xlabel('时间/s');ylabel('幅值');
title("original signal");%绘制原始信号图
%频域
N=(1-Ts)/Ts+1;%采样点数
n=0:N-1;
fft_x=n*Fs/N-Fs/2;
x_fft=fft(x);
shift_f=abs(fftshift(x_fft));
y2=2*shift_f/N;
subplot(2,1,2);
plot(fft_x,y2);
xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');
title('FFT');  %0频率分量位于坐标中心
grid on;

$x_3(t)$ 信号：
在这里插入图片描述
频谱图：

最少采样点数

(2)如果希望能从所获取到的样本信号 $x(nT_s)$ 中，通过DFT有效的区分出信号 $x_1(t)$ 、 $x_2(t)$ 和 $x_3(t)$ ,试求最少需要的采样点数N，画出此时样本信号 $x(nT_s)$ （2）的离散傅里叶变换（DFT）的主值区间的频谱图，并标出数字频率及其对应的模拟频率。
解：分析可知原时域模拟信号为
$x\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^3 { {x_i}\left( t \right)} {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^3 { {A_i}\cos \left( {2\pi {f_i}t} \right)} = 0.2\cos \left( {2\pi \times 990t} \right) + 2\cos \left( {2\pi \times 980t} \right) + 0.4\cos \left( {2\pi \times 1600t} \right)$
即信号的3个频率分量为 $f_1=990Hz$ , $f_2=980Hz$ , $f_3=1600Hz$
由采样周期为 $T_s=0.25ms$ ，根据抽样间隔与抽样频率的关系可知 ${f_s} = \frac{1}{ { {T_s}}} = \frac{1}{ {0.25ms}} = 4000Hz$
抽样后得到的离散序列为 ${x_a}(t){|_{t = n{T_s}}} = 0.2\cos (\frac{ {99\pi }}{ {200}}n) + 2\cos (\frac{ {49\pi }}{ {100}}n) + 0.4\cos (\frac{ {4\pi }}{5}n)$
此时三个频率分量
$\begin{array}{l} \frac{ {2\pi }}{ { {\omega _1}}} = 2\pi \times \frac{ {200}}{ {99\pi }} = \frac{ {400}}{ {99}}\\ \frac{ {2\pi }}{ { {\omega _2}}} = 2\pi \times \frac{ {100}}{ {49\pi }} = \frac{ {200}}{ {49}}\\ \frac{ {2\pi }}{ { {\omega _1}}} = 2\pi \times \frac{5}{ {4\pi }} = \frac{5}{2} \end{array}$
由此可知最小公倍数为N=400，所以x(n)的周期为N=400。
一个周期的数据长度为 ${T_0} = N{T_s} = 400 \times 0.25ms = 0.1s$
当抽样点数为周期的整数倍时便不会产生频谱泄露。
由于信号中最小的频率间隔为 ${f_1} - {f_2} = 10Hz)$ 所以 $F_0=10Hz$ ，为此所需的数据长度为 ${T_0} = \frac{1}{ { {F_0}}} = \frac{1}{ {10Hz}} = 0.1s$
与一个周期的数据长度相同，可取抽样点数 $\ge \frac{ { { {\rm{f}}_{\rm{s}}}}}{ { {f_1} - {f_2}}} = 400$ ,因此最少需要的采样点数N取400。
数字角频率 $\omega = \frac{ {2\pi f}}{ { {f_S}}}$ ,得数字频率分别为 ${\omega _1} = 0.154,{\omega _2} = 0.156,{\omega _3} = 0.251$ 。
采用MATLAB方法做频谱分析,结果如图。
在这里插入图片描述

clear all;
clc;
Ts=0.00025;     %采样间隔为0.25ms
fs=1/Ts;
N=400;         %抽样点N取400，抽样频率fs取4000
n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];
xn=0.2*cos(99*(pi/200)*n)+2*cos(49*(pi/100)*n)+0.4*cos(4*(pi/5)*n);%信号离散序列
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;  %根据定义求信号DFT
X=abs(Xk);
figure(1);
stem(k,X,'*');
grid on;
xlabel('k');
title('幅频特性曲线（K=400，fs=4000Hz）');
ylabel('|X(k)|');
figure(2);
stem(2*pi/fs*k,X,'*');
grid on;
xlabel('数字频率');
title('数字频率（K=400，fs=4000Hz）');
ylabel('|X(k)|');
figure(3);
stem(fs/N*k,X,'*');
grid on;
xlabel('模拟频率');
title('模拟频率（K=400，fs=4000Hz）');
ylabel('|X(k)|');

频谱泄漏

（3）如果采样点数N=512，样本信号 $x(nT_s)$ 的DFT中，是否存在频谱泄漏，如存在，请分析造成频谱泄露的原因、造成的可能影响，以及可能缓轻它的方法？

解：分析可知当采样点数N为512时，此时的频谱 $125时,{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {125}}{ {512}} \times 4000 = 976.6Hz;k = 126时,{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {126}}{ {512}} \times 4000 = 984.4Hz$ 此时980Hz的频率分量在此两频率之间。
$126时，{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {126}}{ {512}} \times 4000 = 984.4Hz;k = 127时，{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {127}}{ {512}} \times 4000 = 992.2Hz$ 此时990Hz的频率分量在此两频率之间。
$204时，{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {204}}{ {512}} \times 4000 = 1593.8Hz;k = 205时，{f_1} = \frac{k}{N} \times {f_s} = \frac{ {205}}{ {512}} \times 4000 = 1601.6Hz$ 此时1600Hz的频率分量在此两频率之间。
此时的频率分辨率 ${F_0} = \frac{ { {f_s}}}{N} = 7.8 < 10Hz$ 能够满足分辨率的要求，但是会出现少量的频谱泄漏。
造成频谱泄漏的原因：所取的序列点数不是序列周期的整数倍。频谱泄漏的产生与信号时域截断的长度有关，因为在数字信号处理中，信号长度不可能无限长，信号长度越长，分辨率越高，频谱泄漏越少。因为对时域信号进行截断，本质上就是乘了一个矩形窗，也就是相当于在频率域做了卷积。
可能造成的影响：频谱泄露的直接影响是无法准确获得频率幅值，因为在某频率的信号幅值被周围的频率值平分。截短后信号不能准确代表原始信号，谱分析产生误差，出现了不该有的频率分量，从而导致对于频谱的分析不准确。产生的较多的旁瓣还有可能带来谱间干扰和混叠失真。原有谱线被展宽，增加了不必要的频率分量。降低频率分辨率（矩形窗谱主瓣宽度的一半）。谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信号的主瓣（淹没信号）。
缓轻频谱泄漏方法：
1、对周期信号——采样和分析的点数为周期的整倍数；
2、减小主瓣宽度，主瓣宽度与截取长度N成反比，即增加x(n)长度；
3、减小旁瓣宽度，加合适的窗函数，缓慢截断；
4、整周期截断——截取的正好是序列的一个或整数个周期。可以代表原序列，不发生频谱泄漏。
使用MATLAB作采样点N=512时的频谱分析，如图发生了频谱泄漏。
在这里插入图片描述

clear all;
clc;
Ts=0.00025;     %采样间隔为0.25ms
fs=1/Ts;
N=512;         %抽样点N取512，抽样频率fs取4000
n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];
xn=0.2*cos(99*(pi/200)*n)+2*cos(49*(pi/100)*n)+0.4*cos(4*(pi/5)*n);%信号离散序列
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;  %根据定义求信号DFT
X=abs(Xk);
subplot(2,1,1);
stem(k,X,'*');
grid on;
xlabel('k');
title('幅频特性曲线（K=512，fs=4000Hz）');
ylabel('|X(k)|');
x=fs/N*k;
subplot(2,1,2);
stem(x,X,'*');
grid on;
xlabel('模拟频率');
title('模拟频率（K=512，fs=4000Hz）');
ylabel('|X(k)|');

FIR数字滤波器设计

（4）如希望在样本 $x(nT_s)$ 中，通过FIR数字滤波器有效的抑制 $x_3(t)$ 的频谱分量，使其衰减超过50dB。试设计该数字滤波器（方法不限），给出设计指标及设计方案，并对所设计的滤波器进行仿真，分析其性能。
解：由题意可知，信号 $x_1(t)$ 、 $x_2(t)$ 和 $x_3(t)$ 的频率分别为0.99kHz，0.98kHz和1.6kHz，为有效的抑制 $x_3(t)$ 的频谱分量，使其衰减超过50dB。结合信号频率情况此处令 ${f_p} = 1.1kHz,{f_{st}} = 1.5kHz,{A_s} = 50dB$ 。

考虑采用窗函数设计法。
窗函数法设计线性相位FIR DF的设计步骤为:
1、确定所需滤波器的性能指标要求。
2、按4种理想线性相位DF(低通、带通、带阻,高通)的表达式,将理想滤波器的截止频率(或上下截止频率)确定为过渡带的算术中心频率。
3、得到理想滤波器的单位冲激响应 $h_d(n)$ 。
4、选择窗函数的类型和长度点数N。窗函数的类型由给定滤波器阻带最小衰减As(dB)确定。窗的长度点数N由滤波器过渡带宽来确定。
5、求加窗后的实际滤波器的单位冲激响应 ${h_d}(n)\omega (n)$ 。
6、检验 $H({e^{j\omega }}) = DTFT[h(n)]$ 是否满足所求滤波器的性能要求。

将模拟频率转换为数字频率： $\begin{array}{l} {\omega _p} = 2\pi {f_p}/{f_s} = 0.55\pi \\ {\omega _{st}} = 2\pi {f_{st}}/{f_s} = 0.75\pi \end{array}$
理想低通滤波波器的频率响应 ${H_d}\left( { {e^{j\omega }}} \right)$ 和单位抽样响应 ${h_d}(n)$ 为：
在这里插入图片描述

其中 $\tau = (N - 1)/2$ ， ${\omega _c} = 0.5{\omega _p} + {\omega _{st}} = 0.65\pi$ 。
由要求的阻带衰减要超过 ${A_s} = 50dB$ ，由于海明窗阻带最小衰减为53dB，故选择窗函数的类型为海明窗。
过渡带宽 $\Delta \omega = {\omega _{st}} - {\omega _p} = 0.75\pi - 0.55\pi = 0.2\pi$ 。通过查表，海明窗过渡带为 $\Delta \omega = 6.6\pi /N$
所以可知 $\frac{ {6.6\pi }}{ {\Delta \omega }} = \frac{ {6.6\pi }}{ {0.2\pi }} = 33$
由此群延迟 $\tau$ ： $\tau = \frac{ {N - 1}}{2} = 16$
因此，海明窗 $\omega (n)$ 为： $\omega (n) = \left[ {0.54 - 0.46\cos (\frac{ {2\pi n}}{ {N - 1}})} \right]{R_N}(n){\rm{ = }}\left[ {0.54 - 0.46\cos \frac{ {\pi n}}{ {16}}} \right]{R_{33}}(n)$
则线性相位FIR低通滤波器的h(n)为
在这里插入图片描述
接下来验证 $H\left( { {e^{j\omega }}} \right) = \mathop \Sigma \limits_{n = 0}^{32} h(n){e^{ - j\omega n}}$ 。此处采用MATLAB工具画出滤波器幅度响应如图。

由此可以看出阻带衰减还没有达到50dB的要求。所以考虑改选N=35的海明窗进行验证。
$\omega (n) = \left[ {0.54 - 0.46\cos (\frac{ {2\pi n}}{ {N - 1}})} \right]{R_N}(n){\rm{ = }}\left[ {0.54 - 0.46\cos \frac{ {\pi n}}{ {17}}} \right]{R_{35}}(n)$
在这里插入图片描述
绘制h(n)和滤波器幅度响应、相位响应如图。

根据程序中对阻带最小衰减的判断确定，As最小为53.22dB,满足了衰减超过50dB的要求。能够有效的抑制 ${x_3}(t)$ 的频谱分量。
在这里插入图片描述

clc;
clear all;
fp=1100;fst=1500;%设置通带和阻带频率
Ts=0.00025;     %采样间隔为0.25ms
Fs=1/Ts;        %采样频率
wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fst/Fs;%数字角频率
deltaw=ws-wp;   %求过度带宽
N0=ceil(6.6*pi/deltaw);%计算海明窗长
N=N0+mod(N0+1,2);%取N为奇数
n=[0:N-1];
wd=(hamming(N))';%求海明函数
wc=(ws+wp)/2;%理想低通滤波器截至频率
hd=ideallp(wc,N);%理想低通的单位冲击响应，调用ideallp将其放于相同路径下
h=hd.*wd;
[db,mag,pha,grd,w] = freqz_m( h,[1]);%检查设计结果的各项指标（“dB”是负值），调用freqz_m将其放于相同路径下
dw=2*pi/1000;
Rp=-min(db(1:wp/dw +1));%检查通带最大衰减是否满足要求
As=-max(db(ws/dw+1:501));%检查阻带最小衰减是否满足要求
figure(1);  %绘制海明窗
plot(n,wd,'linewidth',2);grid;
title('海明窗'); xlabel( 'n'); ylabel( 'w(n) ');
axis([0,N,0,1]);
figure(2);%绘制幅度响应曲线
plot(w/pi,db,'linewidth',2)
title('幅度响应(db) ' );xlabel('\omega/\pi');ylabel('20log|H(e^j^\omega)|(dB)');
axis([0,1,-80,5]);grid;
set(gca,'xtickmode','manual','xtick',[ 0,0.55,0.75,1.0]);%横坐标设置，观察感兴趣的位置，此处选取通带和阻带位置
figure(3);%绘制相位响应曲线
plot(w/pi,pha,'linewidth',2);axis([0,1,-4,4]);grid
title('相位响应');xlabel ( '\omega/\pi'); ylabel ( 'arg20log[H(e^j^\omega)]');

调用的ideallp和freqz_m函数如下(将他们放于同一工作目录下即可调用)：

function hd = ideallp(wc,N);
% 理想低通滤波器的脉冲响应子程序
% hd = ideallp(wc,N)
% hd = 点0 到 N-1之间的理想脉冲响应
% wc = 截止频率(弧度)
% N = 理想滤波器的长度
%
tao = (N-1)/2;              % 理想脉冲响应的对称中心位置
n = [0:(N-1)];             % 设定脉冲响应长度
m = n-tao+eps;          % 加一个小数以避免零作除数
hd =sin(wc*m) ./ (pi*m);   % 理想脉冲响应

function [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)
%求取系统的绝对幅度响应、相对的db值幅度响应、相位响应和群延时响应的函数
%db为相对振幅(dB)
%mag为绝对振幅
%pha为相位响应
%grd为群延时
%w为频率样本点向量
%b为Ha(z)分子多项式系数(对FIR而言，b=h)
%a为Hz(z)分母多项式系数(对FIR而言，a=1)
% [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
%freqz显示数字滤波器频域中的图形
%[H,W] = FREQZ(B,A,N,'whole') uses N points around the whole unit circle.
[H,w] = freqz(b,a,1000,'whole');
    H = (H(1:1:501))'; w = (w(1:1:501))';
  mag = abs(H);
   db = 20*log10((mag+eps)/max(mag));
  pha = angle(H);
%  pha = unwrap(angle(H));
  grd = grpdelay(b,a,w);

参考文章

数字信号处理教程第四版_程佩青P210(例3.20) P545 P560(例8.1 例8.7)
链接: 数字信号处理及MATLAB实现
链接: Matlab快速入门（五）傅里叶变换

数字信号处理(MATLAB)[采样点数、频谱泄露、FIR滤波器设计]