目录
1.求根F(X)=0的解(牛顿迭代法)
1.1一元牛顿迭代法
x为自变量,问题描述为:
是函数对的一阶导数
迭代公式:
1.2二元牛顿迭代法
x,y为自变量, f(x,y)=0 ,g(x,y)=0的根为 (xi+1,yi+1),问题描述为:
令,
为对于的一阶偏导数
为对于的一阶偏导数
为对于的一阶偏导数
为对于的一阶偏导数
迭代公式描述为
其中,为向量的雅克比矩阵,即
矩阵求逆
1.3 三元牛顿迭代法
,
求解的解,迭代公式为
其中利用伴随矩阵求逆公式,即,则
为向量3*1的雅克比矩阵3*3
根据伴随矩阵性质和计算公式得
1.4 多元牛顿迭代法
多元牛顿迭代法的迭代公式如下:
2.求根F(X)极值问题(F'(x)=0)(牛顿迭代法)
3.矩阵相关的知识点
3.1 矩阵、行列式基本定义
向量
,
非线性方程组
其中f1、f2、...、fn均为(x1,x2,...,xn)的多元函数,例如f1=1*x1+2*x2+...+n*xn
令
则非线性方程组可转化
F的雅克比矩阵,Jacobi矩阵为
矩阵求逆公式,其中为矩阵A的行列式,为矩阵A的伴随矩阵
3.1.1 2×2方阵的行列式求解公式
一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:
3.1.2 3×3方阵行列式求解公式
3.2 余子式
把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。例如:
余子式Mij,M(2,3)为
3.3 代数余子式
记Aij=(-1)^(i+j)Mij,叫做元素aij的代数余子式。代数余子式Aij,A(2,3)为
3.4 行列式公式
一个n×n矩阵的行列式等于其任意一行(或一列)的元素与对应的代数余子式乘积之和,即 :
3.5 伴随矩阵
方阵D的行列式,的每个元素的代数余子式所构成的如下矩阵就是伴随矩阵,
i为行数,j为列数,即
注意行和列的对应顺序,矩阵A*是A的伴随矩阵。
3.6 矩阵求逆公式
3.6.1 2*2矩阵求逆
的伴随矩阵为D*
3.6.2 3*3矩阵求逆
的伴随矩阵为D*