一. 最小二乘曲线拟合

给定一组数据 $(x_i,y_i),\quad i=1,2,\cdots,N$ 满足某一函数模型 $\hat y(x)=f(a,x)$ ，其中a为待定系数向量。

那么，最小二乘曲线拟合的目标就是：求出一组待定系数的值，使得以下表达式子最小：

$J=min\sum_{i=1}^N[y_i-\hat y(x_i)]^2=min\sum_{i=1}^N[y_i-f(a,x_i)]^2$

在MATLAB中格式如下：

[a,jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)

%Fun原型函数的MATLAB表示
%a0为最优化的初值
%x,y为原始输入输出的数据向量
%a为返回的待定系数向量
%jm为此待定系数下的目标函数的值

例题1

由以下MATLAB代码生成一组数据：

x=0:.1:10;
y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);

该组数据满足y(x)，求出待定系数 $a_i$ ，使得目标函数的值为最小。

$y(x)=a_1e^{-a_2x}+a_3e^{-a_4x}sin(a_5x)$

解：

MATLAB代码如下：


clc;clear;


x=0:0.1:10;
y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);
f=inline('a(1)*exp(-a(2)*X)+a(3)*exp(-a(4)*X).*sin(a(5)*X)','a','X');

ff=optimset;
ff.TolFun=1e-20;ff.TolX=1e-15; %修改精度限制

[xx,res]=lsqcurvefit(f,[1 1 1 1 1],x,y,[],[],ff)

%绘制曲线
x1=0:0.01:10;
y1=f(xx,x1); %代入运算
plot(x1,y1,x,y,'o');
legend('拟合曲线','原数据点')

运行结果：

xx = 0.120000000000000 0.213000000000000 0.540000000000000 0.170000000000000 1.230000000000000

res =0

例题2

已知以下数据可能满足 $y(x)=ax+bx^2e^{-cx}+d$ 。求满足数据的最小二乘解a,b,c,d的值。

解：

令 $a_1=a,a_2=b,a_3=c,a_4=d$ ，将原函数写成如下：

$y(x)=a_1x+a_2x^2e^{-a_3x}+a_4$

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%输入已知参数
x=0.1:0.1:1;
y=[2.3201,2.6470,2.9707,3.2885,3.6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275];

f=inline('a(1)*X+a(2)*X.^2.*exp(-a(3)*X)+a(4)','a','X');
a=lsqcurvefit(f,[1 2 2 3],x,y)

%绘制曲线
y1=f(a,x);
plot(x,y1,x,y,'o');
legend('拟合曲线','原数据点');

运行结果：

a = 3.100076146500888 1.502655931856580 4.004634473891176 2.000013871079962

在MATLAB中，非线性拟合命令格式如下：

[beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,beta0)
%x,y为原始数据
%fun是在M文件中定义的函数
%beta0是函数中参数的初始值
%beta为参数的最优值
%r是各点处的拟合残差
%J为雅克比矩阵的数值

初始参数beta0可以用以下方法求得：

首先观察有几个待定系数，有几个待定系数就将几组实验数据代入方程中，由此可得参数的初始值。

例题3

给定以下数据，利用非线性的方法求出函数f(x)的参数。

$f(x)=b_1(1-b_2e^{-b_3x})$

x	0	47	93	140	186	279	372	465	558	651
y	18.98	27.35	34.86	38.52	38.44	37.73	38.43	43.87	42.77	46.22

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

x=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];
y=[18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22];
b0=[43 0.6 0.1]; %初始参数值
fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*X))','b','X');
[b,r,j]=nlinfit(x,y,fun,b0); %b为最佳参数
b
R=sum(r.^2)  %误差平方和
y1=fun(b,x);
plot(x,y,'*',x,y1,'-or')

运行结果：

b =42.664037023023802 0.548346447450711 0.009880232273427

R =46.197464448828995

二. curve fitting tool工具

以下将通过一个例子，来理解MATLAB中curve fitting tool工具。

首先在新建的脚本文件编辑框中键入以下代码：

clc;clear;

%产生数据
x=-20:2:20;
y=-20:2:20;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=3*X.^3-4*X+2*Y.^4+3*Y^3;
meshgrid(X,Y,Z);

第一步

在APP选项框中打开curve fitting 工具，选择数据源X/Y/Z data

第二步

选择合适的拟合方法。本例子待拟合的曲面为多项式，所以可以直接选择。其他可选择的拟合类型，如下：

Custom Equation：用户自定义的函数类型

Interpolant:插值逼近，有四种类型，linear、nearest、neighbor、cubic spline、shape-preserving

Lowess：平滑逼近，局部加权回归

Polynomial:多项式逼近，有9种类型，linear,quadratic,cubic,4-9th degree

第三步

选择合适的多项式次数与系数

第四步

拟合后的结果信息在Fitting对话框中的Results文本框中，此处有此次拟合的主要统计信息，包含：

误差平方和 SSE：该参数计算拟合参数后的回归值与原始数据对应点的误差平方和，类比方差

确定系数 R-square

调整后的确实系数 Adjusted R-square

RMSE：该参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值的平方根，即均方误差，类比标准差

另外附加两个功能：

生成代码：文件>>Generate Code>>自动生成一个creatFit.m文件；

生成图片：文件>>Print to figure

基于MATLAB的最小二乘法拟合与拟合工具箱使用教程（附完整代码与算法）

一. 最小二乘曲线拟合

例题1

例题3

二. curve fitting tool工具

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