高等数学：笛卡尔定理（上）

一、四圆相切问题初探

“四圆相切”具体指的是“平面内的四个圆两两相切且不公切”。它的历史最早可以追溯至公元前，从古希腊时期开始，数学家就开始留意这类独特的图形——不仅因为它具备无与伦比的几何美感，还蕴含精妙绝伦的代数关系。

虽然是个上千年的老问题，但既然是从头探索，还是有必要问一句：“四圆相切是否存在？”

复杂情况搞不清楚的时候，就先从简单情况入手。三圆相切的例子有很多，归纳起来可以分为两种：(1) “外切-外切-外切”——三个圆互不包含，两两外切；(2) “内切-内切-外切”——一个大圆与两个小圆内切，而两个小圆外切。有了三圆相切的基础，我们只需要补上第四个圆，让它与其他三个圆都相切即可。

那么，第四个圆是否存在？

感觉上是存在的，但严格表达起来还是有些疑问，那就继续简化：两条平行直线之间夹着一个圆，是否存在第四个圆与三条曲线相切？

想必读者可以秒解这个问题：这样的圆不仅存在，而且不多不少，恰好有两个。

结论似乎没什么用，毕竟简化得有些过分了。但是别忘了，我们手头有一个“化圆为线”的强大工具——反演变换。如果能把任意一个三圆相切的图形都转化成“平行直线夹一圆”的情形，问题随即迎刃而解。

遵循这一思路，构造所需的反演变换并不困难：为了在反演后得到两条直线，反演中心需要放在两个圆的切点上。如此一来，经过反演中心的两个圆变成了两条平行直线；更重要的是，由于反演变换的保圆性和自逆性，第三个圆的反形不仅是圆，还刚好与两条直线相切！剩下的就容易了：找到第四个圆的反形，再做反演即可。

文字叙述起来有些抽象，直接上动画演示该过程：

如何用反演变换找第四个圆
https://www.zhihu.com/video/1211009026919923712
回到原来的问题：“能否添加第四个圆，使之与其他三个圆都相切？”答案是肯定的，不仅如此，根据刚才的分析，满足要求的圆正好有两个。把上述结果整理为定理：

阿波罗尼奥斯定理（Apollonius’ Theorem） 对于给定的三个两两相切（但不公切于一点）的圆 \color{grey}{C_1, C_2, C_3} ，恰好存在两个圆与 \color{grey}{C_1, C_2, C_3} 均相切。
下面的动画展示了“外切-外切-外切”和“内切-内切-外切”两种情况下，第四个圆的具体位置。

第四个圆的位置演示
https://www.zhihu.com/video/1211012935990140928
所以说，四圆相切是存在的。

而由于相切的要求，四个圆相互约束，它们当中必然还有暗藏的联系。1643年，法国数学家笛卡尔在一封信中指出了四个圆半径之间的关系，也就是著名的笛卡尔定理（Descartes’ Theorem）。为了证明这个结论，我们需要先对反演变换的保圆性做些补充，尤其是其中出现的定量关系。

二、再看反演变换的保圆性

反演变换能够保证广义圆的形状，但是经过变换之后，反形的大小是多少？位置又在哪里？回顾之前讨论的几种情况：

1. 经过反演中心的直线 \mapsto 经过反演中心的直线

很容易，反形与原像完全重合，没什么可说的。

2. 不经过反演中心的直线 \mapsto 经过反演中心的圆

假设反演圆的半径为 R ，反演中心为 O ，且点 O 到直线 l 的距离为 d 。现在做出 O 到 l 的垂线段 OA ，并找到垂足 A 的反点 A’ 。根据反演变换的保圆性，我们知道直线 l 的反形是一个经过 O 的圆，而且 OA’ 是这个圆的直径！由定义可知， |OA’| = R^2/d ，所以反形的半径为 R^2/(2d) ，其圆心与 O 的连线与 l 垂直。

3. 经过反演中心的圆 \mapsto 不经过反演中心的直线

它与上一种情况类似，这里不再赘述，直接给出结论：假设反演圆的半径为 R ，原像的半径为 r ，圆心为 C，并且经过 O 点。那么 \odot C 的反形是一条与 OC 垂直的直线，并且 O 点到该直线的距离为 R^2/(2r) 。

4. 不经过反演中心的圆 \mapsto 不经过反演中心的圆

假设反演圆的半径为 R ，反演中心为 O ，原像的半径为 r ，圆心为 C ，且圆心距 |OC| = d 。现在连结 OC 并延长，交原像于 A,B 两点，并找到二者的反点 A’,B’。根据保圆性，\odot C 的反形是一个不经过 O 的圆，而且 A’B’ 是这个圆的直径。根据反演的定义，可以很快求出：|A’B’| = 2 R^2r/|d2-r^2|，分母中的绝对值是为了照顾原像包含反演中心的情况。所以 \odot C 的反形是一个半径为 R^2r/|d2-r^2| 的圆，其圆心 I 与 O,C 共线，且 |OI| = R^2 d/|d^2-r2|。

无论是哪种情况，反形与原像之间的大小与位置关系都已经清晰，求出原像半径的关联就很轻松了。

三、四圆之间的大小牵制——笛卡尔定理（Descartes’ Theorem）

准备工作就绪，现在可以证明四圆相切中的大小关系了：

笛卡尔定理（Descartes’ Theorem） 假设四个两两相切的圆 \color{grey}{C_1, C_2, C_3, C_4} 的有向曲率分别为 \color{grey}{k_1, k_2, k_3, k_4} ，则它们满足关系： \color{grey}{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)} \
有向曲率与圆周的定向相关，但是我们暂时不谈那么多概念，你只需要这样理解：(1) 曲率的大小为 |k_i| = 1/r_i ；(2) 有向曲率带有符号（正或负），如果两圆外切，二者的曲率符号相同，如果两圆内切，二者的曲率符号相异；(3) 对于任一四圆相切图案来说，只要指定某个圆的曲率符号，剩余圆的曲率符号就能完全确定。

下面是两个四圆相切的图案，你可以简单验算找找感觉，体会上面的理解方式。

和阿波罗尼奥斯定理的处理思路相同，证明过程分为三步：(1) 利用反演变换将“四圆相切”化为“两线夹两圆”的简单情况；(2) 找到简单情况下反形的半径；(3) 根据反形和反演圆反推原像的半径。

接下来，我们以上图中右侧的图案为例，介绍笛卡尔定理的证明。图中四个圆 C_1,C_2,C_3,C_4 的颜色分别为粉、红、绿、蓝，并假设半径分别为 r_1,r_2,r_3,r_4 ，有向曲率为 k_1,k_2,k_3,k_4 。

第一步工作其实之前已经做过了：将反演中心放在其中两个圆的切点上，反形就会自然形成“两线夹两圆”。假定我们选择绿色圆 C_3 和蓝色圆 C_4 的切点作为反演中心，那么它们的反形 C_3’ 与 C_4’ 是两条平行直线，粉色圆 C_1 和红色圆 C_2 的反形 C_1’ 与 C_2’ 则会夹在二者之间。

由于目前还没确定反演圆的半径，所以两条直线间的距离可以随意变动。为计算方便，我们第二步选定反演圆半径 R ，使得两条直线间的距离恰好为 2 。这样一来，直线所夹的圆的半径就是 1 。根据之前讨论过的定量关系，这样的 R 必然存在，原因在于下列方程有解： \left| \dfrac{R^2}{2r_3} - \dfrac{R^2}{2r_4} \right| = 2 \ 等号左边就是两条直线的间距。而且我们并不在乎 R 有多大，只需要知道它存在就行了，没必要解方程。

有了“两线夹两圆”的标准形状，解析几何这一强大工具就能派上用场了。以 C_1’ 和 C_2’ 的切点为原点建立坐标系，使得两条直线为 y=\pm1 。有了坐标系之后，反形的圆心和反演中心 O 的坐标就能确定下来。在我们所选的例子中， O 位于 C_4’ 上方，因此可以假设 O 点的坐标为 (x_0,y_0) ，且 y_0>1 。

现在已知反形的方程和反演中心坐标，依照保圆性中的定量关系，就可以导出原像的半径： r_1 = \dfrac{R^2}{x_02+2x_0+y_0^2}, \quad r_2 = \dfrac{R^2}{x_02-2x_0+y_0^2}, \ r_3 = \dfrac{R^2}{2(y_0+1)}, \quad r_4 = \dfrac{R^2}{2(y_0-1)} \ 由半径求有向曲率的时候，唯一需要注意的地方是符号，原像中其他圆与 C_4 内切，因此 C_4 的曲率符号与其他圆的不同。假设其曲率符号为负，得到： k_1 = \dfrac{x_0^2+2x_0+y_02}{R^2}, \quad k_2 = \dfrac{x_0^2-2x_0+y_02}{R^2}, \ k_3 = \dfrac{2(y_0+1)}{R^2}, \quad k_4 = \color{red}{-}\dfrac{2(y_0-1)}{R^2} \ 剩下的就是验证等号两边相等：
$$(k_1+k_2+k_3+k_4{)}^2=\frac{4}{R^4}\left(x_0^4+2x_0^2{y}_0^2+y_0^4+4x_0^2+4y_0^2+4\right)=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$$
证毕。

说实话，这个证明并没有想象中那么有趣，动用了解析几何不说，分类讨论和计算细节还必须时刻留意。不过，其中的问题处理思路确实值得借鉴：从简单情况开始摸索，然后尽可能地将复杂情况转化为简单情况，同时明确转化前后的关系，剩下的内容按照流程完成即可。

有了阿波罗尼奥斯定理和笛卡尔定理作为理论支撑，我们就可以做更多愉快的事情了，比如以四圆相切图案为种子绘制分形。这些分形由无数相切圆构成，而且所有圆的曲率（圆中的数字）都是整数！

如果你看到这里，就迫切地想尝试用计算机去绘制分形，你会发现一个关键的问题没有解决：这些圆究竟放在哪里？我会在之后的文章中给出解答，还得讨论一下四圆相切衍生出的奇妙图案与结论。