高等数学（微分中值定理）

转载于:高等数学——讲透微分中值定理
费马引理
费马引理很简单，是说如果在一段曲线当中存在一个点$x_0$，使得在$x_0$的邻域内都存在$f(x)\le f(x_0)$（或$f(x)\ge f(x_0)$），那么就说明$f^{\prime }(x_0)=0$。
对导数熟悉的同学会发现，这其实就是把话倒着说。导数为$0$的点是极值点，既然是极值点显然附近的点要么都大于它或者都小于它。我们看下下图就可以想明白。

证明的过程非常简单，我们令$\Delta x\to 0$，那么显然$f(x+\Delta x)\ge f(x_0),f(x-\Delta x)\le f(x_0)$，利用极限左右边界相等，我们就可以证明它的正确性。
罗尔中值定理
罗尔中值定理是在费马引理的基础上做了一点引申，我们还是看上图，在上图当中$A$和$B$两点的函数值相等。所以罗尔中值定理是，如果某个函数满足：
在闭区间$[a,b]$上连续
$f(a)=f(b)$
在开区间$(a,b)$上可导
那么，在区间$(a,b)$当中必然存在一个点$x_0$，使得$f^{\prime }(x_0)=0$。
这个中值定理也很容易想明白，既然函数在两个端点处值相等，那么无论它是先减再增还是先增再减或者是不增不减，那么显然都会存在至少一个极值点，既然存在极值点，那么根据费马引理显然就有导数为$0$的点。
拉格朗日中值定理
罗尔定理简单易懂，但是有一个小问题就是限制条件太死，函数上不一定能找到两个点相等。针对这个问题，大佬拉格朗日对这个公式进行了拓展。
他说，只要函数$f(x)$满足：
在闭区间$[a,b]$连续
在开区间$(a,b)$可导
那么就可以找到一个点$\xi \in (a,b)$使得：$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
这个式子这样看起来非常恐怖，我们做一个变形：
$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$这个我们都非常熟悉，就是就是$a$和$b$两点连线的斜率。而$f^{\prime }(\xi )$则是函数在$\xi$这点的切线，从几何角度上来看，说明存在一个点的切线和端点连线平行，我们可以对照下图。

从定理上来看，如果$a$和$b$点的函数值相等，这个式子和罗尔定理完全一样，也就是说罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
我们来看这个函数：
$L(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
这个函数看起来很奇怪，但是它有一个巨牛的性质，就是它在$a$和$b$两点的值相等并且等于$0$，到这里就很简单了，我们对这个巨牛的函数求导：
$L^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
根据罗尔定理，我们可以找到一个点$\xi \in (a,b)$使得：
$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
所以就得证了，花里胡哨，叹为观止。但是到这里还没有结束，还有一个重头戏没有上场。
柯西中值定理
柯西中值定理的图像和拉格朗日的一模一样，但是含义加深了一层。在我们之前的讨论当中，我们画的是$y$随着$x$变化的函数曲线。但是有可能$X$轴本身也是一个函数。也就是说之前我们画的是$y=f(x)$的图像，现在可能变成了$Y=f(x),X=F(x)$的图像，换句话说$X$轴和$Y$轴都是$x$的因变量，这里的的$x$成了一个参数。
在这样的函数当中，某一点的切线的斜率成了: $\frac{dY}{dX}=\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$。柯西中值定理正是作用于这样的函数上，如果函数$f,F$满足：
在闭区间$[a,b]$上连续
在开区间$(a,b)$上可导
对于任意$x\in (a,b),F^{\prime }(x)\ne 0$
那么至少在$(a,b)$当中存在一点$\xi$，满足：
$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$
虽然这个公式看起来非常虎，但是证明方法和上面大同小异，我们引入一个基本上一样的辅助函数：
$L(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}[F(x)-F(b)]$
证明方法也是一样，可以发现这个辅助函数是满足罗尔定理的，那么我们对它求导，一模一样的方法就可以得到证明。我这里就不证了，意思不大。