一、简介

SM2非对称加密算法。由国家密码管理局于2010年12月17日发布。基于椭圆曲线密码的公钥密码算法标准，其密钥长度256bit，包含数字签名、密钥交换和公钥加密，用于替换RSA/DH/ECDSA/ECDH等国际算法。

SM2采用的是ECC 256位的一种，其安全强度比RSA 2048位高，且运算速度快于RSA。随着密码技术和计算技术的发展，目前常用的1024位RSA算法面临严重的安全威胁，我们国家密码管理部门经过研究，决定采用SM2椭圆曲线算法替换RSA算法。SM2算法在安全性、性能上都具有优势。

二、数学公式

获取公私钥：

椭圆曲线方程：

y^2 = x^3 + ax + b mod p

确认a、b、p，确认曲线。
选择一个点 $P(x_g, y_g)$ 为基点。
对曲线做切线、x对称点运行。次数为d,运算倍点为Q
d为私钥,Q为公钥

密钥对的生成：

产生随机整数 $d [1, n - 2]$
G为基点，计算点 $P = (x P, y P) = [d] G$ ;
密钥对为: $(d, P)$ 其中，d为私钥，P为公钥

一个很典型的例子：

a = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFC
b = 0x28E9FA9E9D9F5E344D5A9E4BCF6509A7F39789F515AB8F92DDBCBD414D940E93
p = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFF
x_g = 0x32c4ae2c1f1981195f9904466a39c9948fe30bbff2660be1715a4589334c74c7
y_g = 0xbc3736a2f4f6779c59bdcee36b692153d0a9877cc62a474002df32e52139f0a0
n = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7203DF6B21C6052B53BBF40939D54123

SM签名

M为待签名消息，数字签名结果为 $(r, s)$ ，用户密钥对 $(d, P)$ 。

实现步骤：

$e = ha s h (M)$ => 获取消息散列值
产生随机数k => 以便即使是同一个消息，每次签名出来的结果不同。
使用随机数，计算椭圆曲线点 $x_1, y_1) = [k]G$
$r = (e + x 1) m o d n$ => 判断： $r = 0$ 或者 $r + k = n$ , 继续第2步。
$s = ((1 + d)^{-1} ∗ (k − r ∗ d )) mod n$ , 若 s = 0，继续第2步
r,s 为签名信息。

SM验签

M为明文， $(r, s)$ 为签名结果,用户公钥P

实现步骤：

$e = ha s h (M)$
$(r+s)\ mod\ n$
$(x, y) = [s] G + [t] P$
$R=(e+x)\ mod\ n$
计算R是否等于r

$[s] G + [t] P$ 的结果可以推导出等于 $[k] G$

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验证原理

[s]G + [t]P = sG + (r + s)P
			= sG + (r + s)dG 
			= sG + sdG + rdG 
			= (1 + d)sG + rdG
			= (1 + d)(1 + d)^{-1} * (k − rd)G + rdG 
			= (k − rd)G + rdG
			= kG − rdG + rdG
			= kG = (x1, y1)

SM加密

M为明文字符串

获取随机数k
(x1,y1) = [k]G
S = [h]P => h 为余因子
$C 1 = (x 2, y 2) = [k] P$
$t = KD F (x 2∣∣ y 2, k l e n)$ => klen为M的长度。KDF是sm2的密钥派生函数
$C 2 = M + t$
$C 3 = H a s h (x 2∥ M ∥ y 2)$
$C = C 1∥ C 2∥ C 3$

SM解密

C为密文字符串,klen为密文中C2的长度

$C 1 = C$ 里面获取，验证C1是否满足椭圆曲线。 ⇒ C2长度确定，可以获取C1内容。
$S = [h] C 1$ ， S为无穷点，退出。
$(x 2, y 2) = [d] C 1$
$t = KD F (m 2∣∣ y 2, k l e n)$
$M^~ = C2 + t$
$u = Hash(x2 || M^~ || y2), u? == C3$
$M^~$ 为明文

加解密中C1,C2,C3

SM2非对称加密的结果由C1,C2,C3三部分组成。
其中C1是生成随机数的计算出的椭圆曲线点，C2是密文数据，C3是SM3的摘要值。
最开始的国密标准的结果是按C1C2C3顺序的，新标准的是按C1C3C2顺序存放的

SM国密算法（三）-- SM2算法

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