梯度

梯度(gradient)的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

当然，梯度的概念也可以推广到三元函数的情形。同样，该梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

同样的，在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

图像

图像可以看作是二维离散函数。

Lena 图像-- 灰度图

图像中央 21 x 21 区域块儿，

函数视角 - 直方图

曲线图

既然图像是二维离散函数，那么图像梯度其实就是这个二维离散函数的求导。

图像梯度: G(x,y) = dx(i,j) + dy(i,j);

dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);

dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);

其中，I是图像像素的值(如：RGB值)，(i,j)为像素的坐标。

图像梯度一般也可以用中值差分：

dx(i,j) = [I(i+1,j) - I(i-1,j)]/2;

dy(i,j) = [I(i,j+1) - I(i,j-1)]/2;

图像边缘一般都是通过对图像进行梯度运算来实现的。

上面说的是简单的梯度定义，其实还有更多更复杂的梯度公式。

对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。

权重 / 振幅：magnitude, 表示边缘强度信息

方向 / 角度：theta，预言边缘的方向走势。

Theta = tan^-1(yGradient/xGradient)

注意，45° 算子检测出的是 135° 边缘，水平算子检测出的是竖直边缘。a = (180° - b) 的关系。权重图像则是把全部边缘凸显出来。

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