常见树形结构

树

树结构是一种非线性存储结构，存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。

术语：

节点深度
对任意节点x，x节点的深度表示为根节点到x节点的路径长度。所以根节点深度为0，第二层节点深度为1，以此类推

节点高度
对任意节点x，叶子节点到x节点的路径长度就是节点x的高度

树的深度
一棵树中节点的最大深度就是树的深度，也称为高度

父节点
若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点

子节点
一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点

节点的层次
从根节点开始，根节点为第一层，根的子节点为第二层，以此类推

兄弟节点
拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点

度
节点的子树数目就是节点的度

叶子节点
度为零的节点就是叶子节点

祖先
对任意节点x，从根节点到节点x的所有节点都是x的祖先（节点x也是自己的祖先）

后代
对任意节点x，从节点x到叶子节点的所有节点都是x的后代（节点x也是自己的后代）

森林
m颗互不相交的树构成的集合就是森林

树的特点

树形数据结构，具有以下的结构特点：

每个节点都只有有限个子节点或无子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
树里面没有环路，意思就是从一个节点出发，除非往返，否则不能回到起点

树的种类

无序树
树的任意节点的子节点没有顺序关系。

有序树
树的任意节点的子节点有顺序关系。

二叉树

树的任意节点至多包含两棵子树。

二叉树遍历
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。

二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历 (即根-左-右遍历)
中序遍历 (即左-根-右遍历)
后序遍历 (即左-右-根遍历)
层次遍历

局限性及应用

一个二叉查找树是由n个节点随机构成,所以，对于某些情况,二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链.

满二叉树
叶子节点都在同一层并且除叶子节点外的所有节点都有两个子节点。

完全二叉树
对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除第d层外的所有节点构成满二叉树，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

完满二叉树
除了叶子结点之外的每个节点都有两个孩子，每一层（当然包含最后一层）都被完全填充。

霍夫曼树
带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树。

二叉查找树

二叉查找树（二叉搜索树、二叉排序树、BST）[这几个都是别名]
若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
没有键值相等的节点。

查询效率
二叉查找树的查询复杂度取决于目标节点的深度，因此当节点的深度比较大时，最坏的查询效率是O(n)，其中n是树中的节点个数。

实际应用中有很多改进版的二叉查找树，目的是尽可能使得每个节点的深度不要过深，从而提高查询效率。比如AVL树和红黑树，可以将最坏效率降低至O(log n)

平衡二叉树
它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树，同时，平衡二叉树必定是二叉搜索树。
其中左右子树的高度差：平衡因子

AVL树

在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：

本身首先是一棵二叉搜索树。
带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

AVL树的旋转
一旦由于插入或删除导致左右子树的高度差大于1，此时就需要旋转某些节点调整树高度，使其再次达到平衡状态，这个过程称为旋转再平衡

保持树平衡的目的是可以控制查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(log n)，相比普通二叉树最坏情况的时间复杂度是 O(n) ，AVL树把最坏情况的复杂度控制在可接受范围，非常合适对算法执行时间敏感类的应用。

使用场景
AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。
也在Windows进程地址空间管理中得到了使用
旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡

AVL树特点
AVL树是一棵二叉搜索树
AVL树的左右子节点也是AVL树
AVL树拥有二叉搜索树的所有基本特点
每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1，即平衡因子为范围为[-1,1]

红黑树

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:
性质1. 节点是红色或黑色。
性质2. 根节点是黑色。
性质3. 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
性质4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点(简称黑高)。

一种自平衡二叉查找树, 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制,红黑树确保从根到叶子节点的最长路径不会是最短路径的两倍，用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决

使用场景
红黑树多用于搜索,插入,删除操作多的情况下, 红黑树应用比较广泛：

广泛用在C++的STL中。map和set都是用红黑树实现的。
著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler,用红黑树管理进程控制块。
epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块
nginx中，用红黑树管理timer等

原因
红黑树的查询性能略微逊色于AVL树，因为比AVL树会稍微不平衡最多一层，也就是说红黑树的查询性能只比相同内容的AVL树最多多一次比较，但是，红黑树在插入和删除上完爆AVL树，AVL树每次插入删除会进行大量的平衡度计算，而红黑树为了维持红黑性质所做的红黑变换和旋转的开销，相较于AVL树为了维持平衡的开销要小得多

红黑树 VS 平衡二叉树（AVL树）

插入和删除操作，一般认为红黑树的删除和插入会比AVL树更快。因为，红黑树不像AVL 树那样严格的要求平衡因子小于等于1，这就减少了为了达到平衡而进行的旋转操作次数，可以说是牺牲严格平衡性来换取更快的插入和删除时间。
红黑树不要求有不严格的平衡性控制，但是红黑树的特点，使得任何不平衡都会在三次旋转之内解决。而AVL树如果不平衡，并不会控制旋转操作次数，旋转直到平衡为止。
查找操作，AVL树的效率更高。因为AVL树设计比红黑树更加平衡，不会出现平衡因子超过1 的情况，减少了树的平均搜索长度。

伸展树

伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。
它由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator 和罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan 在1985年发明的。
在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。
它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。

替罪羊树

替罪羊树是计算机科学中，一种基于部分重建的自平衡二叉搜索树。在替罪羊树上，插入或删除节点的平摊最坏时间复杂度是O(log n)，搜索节点的最坏时间复杂度是O(log n)。
在非平衡的二叉搜索树中，每次操作以后检查操作路径，找到最高的满足max(size(son_L),size(son_R))>alpha*size(this)的结点，重建整个子树。这样就得到了替罪羊树，而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。
替罪羊树替罪羊树是一棵自平衡二叉搜索树，由ArneAndersson提出。替罪羊树的主要思想就是将不平衡的树压成一个序列,然后暴力重构成一颗平衡的树。

B-tree（B-树或者B树）

一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。
它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

根结点至少有两个子女；
每个非根节点所包含的关键字个数j满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <=m ；
所有的叶子结点都位于同一层。
备注：┌m/2┐表示向上取整

B树(B-Tree)是一种自平衡的树,它是一种多路搜索树(并不是二叉的)，能够保证数据有序。同时它还保证了在查找、插入、删除等操作时性能都能保持在O(logn)，为大块数据的读写操作做了优化,同时它也可以用来描述外部存储(支持对保存在磁盘或者网络上的符号表进行外部查找)

特点

B树是所有节点的平衡因子均等于0的多路查找树（AVL树是平衡因子不大于1 的二路查找树）。
B树节点可以保存多个数据，使得B树可以不用像AVL树那样为了保持平衡频繁的旋转节点。
B树的多路的特性，降低了树的高度，所以B树相比于平衡二叉树显得矮胖很多。
B树非常适合保存在磁盘中的数据读取，因为每次读取都会有一次磁盘IO，高度降低减少了磁盘IO的次数。

B树常用于实现数据库索引，典型的实现，MongoDB索引用B树实现，MySQL的Innodb 存储引擎用B+树存放索引。

B+树

B+树是B树的一种变形形式，B+树上的叶子结点存储关键字以及相应记录的地址，叶子结点以上各层作为索引使用。一棵m阶的B+树定义如下:

每个结点至多有m个子女；
除根结点外，每个结点至少有[m/2]个子女，根结点至少有两个子女；
有k个子女的结点必有k个关键字。

B+树的查找与B树不同，当索引部分某个结点的关键字与所查的关键字相等时，并不停止查找，应继续沿着这个关键字左边的指针向下，一直查到该关键字所在的叶子结点为止。

B+的特性：

所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的
不可能在非叶子结点命中
非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
更适合文件索引系统

原因：增删文件(节点)时，效率更高，因为B+树的叶子节点包含所有关键字，并以有序的链表结构存储，这样可很好提高增删效率

使用场景
文件系统和数据库系统中常用的B/B+树，
通过对每个节点存储个数的扩展，使得对连续的数据能够进行较快的定位和访问，能够有效减少查找时间，提高存储的空间局部性从而减少IO操作。他广泛用于文件系统及数据库中，如：

Windows：HPFS 文件系统
Mac：HFS，HFS+ 文件系统
Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系统
数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

B树：有序数组+平衡多叉树
B+树：有序数组链表+平衡多叉树

B+ 树的优点

层级更低，IO 次数更少
每次都需要查询到叶子节点，查询性能稳定
叶子节点形成有序链表，范围查询方便

B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。

B*\树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*\树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

字典树

又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。
它的优点是：
利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。
有3个基本性质：

根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符；
从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串；
每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

线索二叉树

在二叉树的结点上加上线索的二叉树称为线索二叉树，对二叉树以某种遍历方式（如先序、中序、后序或层次等）进行遍历，使其变为线索二叉树的过程称为对二叉树进行线索化。