洛谷 2424 约数和

题目

设$f(x)$表示为x的约数和，求$f(x)+……+f(y)$

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分析

首先要思考如何表示答案.

$f(x)$表示为$\sum_{d|x}d$

那么答案为

$\sum^y_{i=x}\sum_{d|x}d$

但是时间复杂度是

$O(\sum^y_{i=x}\sqrt{i})$

不TLE才怪。
幸好我们换一种思想，枚举约数，
若d是1至n中的x的约数，$d、2d、3d……kd（kd=x）$
则$1<=k<=trunc(x/d)$,那么

$f(x)=\sum_{i=1}^{x}trunc(x/i)*i$

于是就想到了前缀和

$\sum^y_{i=x}f(i)=\sum^y_{i=1} trunc(y/i)*i$

$-\sum^{x-1}_{i=1}trunc((x-1)/i)*i$

但是时间复杂度为$O(y)$还会TLE
如何优化$\sum_{i=1}^xtrunc(x/i)*i$

f(12)		举			个			例			子
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
12/i	12	6	4	3	2	2	1	1	1	1	1	1

对于重复的数字
就用区间（l to r）优化
l很简单，$l=r+1$,那么$r=n/(n/l)$
l是下标，n/l自然就是约数
ans+=约数的个数*约数
约数为n/l
约数的个数就是$\sum^r_{i=l}i$
改等差数列为$(l+r)*(r-l+1)/2$
然后就能轻松AC了。

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代码

#include<cstdio>
using namespace std;
long long sum(int n){
    long long ans=0;
    for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
    }
    return ans;
}
int main() {
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));
    return 0;
}