树上问题——树的直径

树的直径的含义

树的直径就是树中所有最短路经距离的最大值。

求树的直径通常有两种方法，一种是通过两次搜索（bfs和dfs均可），另一种就是通过树形dp来求了。

dfs（bfs）求树的直径

随便从一个点$a$开始，用dfs找到离初始点最远的点$b$。然后再以最远点$b$为初始点用dfs找到离初始点最远的点$c$。

路径$bc$即为当前树的直径。

int e,maxv=-1;
void dfs(int x,int father)
{
	for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i])//用链式前向星存树
	{
		int j=e[i];
		if(j==father) continue;//树是一种有向无环图，只要搜索过程中不返回父亲节点即可保证不会重复遍历同一个点。
		d[j]=d[x]+w[i];//更新每个点到起始点的距离（在树中任意两点的距离是唯一的）
        if(d[j]>maxv) maxv=d[j],e=j;//更新最远的点的信息
		dfs(j,x);//继续搜索下一个节点
	}
}

树形dp求树的直径

首先递归到叶结点，然后再由叶结点连接父节点，更新$f1,f2$数组（$f1[i]$数组表示离点i最远的点的距离，$f2[i]$数组表示离点i次远的点的距离）。

最后找到任意一点的$f1+f2$最大的值，该值即为树的直径。

void dp(int x,int father)
{
	for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i])链式前向星存树
	{
		int j=e[i];
		if(j==father) continue;//防止原路返回
		dp(j,x);//dp过程应该是由叶节点开始的，也就是说先递归到叶节点再开始进行状态转移
		if(f1[x]<f1[j]+w[i])//如果子节点的最大距离+子节点与父节点之间边的权重大于父节点的最大距离，那么父节点的最大距离和次大距离都要得到相应更新
		{
			f2[x]=f1[x];
			f1[x]=f1[j]+w[i];
		}
		else if(f2[x]<f1[j]+w[i])//若子节点的最大距离+子节点与父节点之间边的权重小于父节点的最大距离，再判断与父节点的次大距离的关系
			f2[x]=f1[j]+w[i];
		ans=max(ans,f1[x]+f2[x]);//在搜索过程中找到树的直径
	}
}