函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系

1.函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系

1.1 傅里叶级数中的系数公式推导

我们先来推导一下傅里叶级数中的系数公式，其实笔者已经写过一篇相关笔记，详见：为什么要把一个函数分解成三角函数?(傅利叶级数)



$$\begin{gathered} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})(x\in \mathbf{R}) \\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})(-l<x<l) \\ {a}_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)dx \\ {a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx \end{gathered}$$
如果上述公式中 $l=\pi$
$$\begin{gathered} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)(x\in \mathbf{R}) \\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)(-\pi <x<\pi ) \\ {a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)dx \\ {a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx \end{gathered}$$

1.2将函数展开为傅里叶级数

2008年数一
将函数 $f(x)=1-x^2(0\le x\le \pi )$ 展开成余弦形式的傅里叶级数，并求级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$的和
由于展开成余弦形式的傅里叶级数，故不含正弦级数且$b_n=0$
$$\begin{gathered} f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx(x\in \mathbf{R}) \\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx(-\pi \le x\le \pi ) \\ {a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }1-x^{2}dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }1-x^{2}dx=2(1-\frac{{\pi }^2}{3}) \\ {a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(1-x^2)\cos nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(1-x^2)\cos nxdx=\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot 4}{n^2} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} f(x)=1-\frac{{\pi }^2}{3}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot 4}{n^2}\cos nx(-\pi \le x\le \pi ) \\ f(0)=1-\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}(-\pi \le x\le \pi ) \\ f(0)=1-0^2=1 \\ 1=1-\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}(-\pi \le x\le \pi ) \\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12} \end{gathered}$$

1.3 函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系的分析

作图过程如下：

函数 $f(x)=1-x^2(0\le x\le \pi )$

余弦级数中的部分余弦波

$$a_n\cos nx$$
此图中$n$只从1取到5，共5个余弦波

各个余弦波（绿色）叠加后形成余弦级数（橙色）
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$$

余弦级数加 $a_0/2$ 的图像（蓝色）
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx$$

函数$f(x)$（红色）及将其展开成余弦形式的傅里叶级数的图像（蓝色）

上图中红色为函数、蓝色为函数的傅里叶级数展开、函数与函数的傅里叶级数展开重合部分为和函数，超过收敛域的部分函数与傅里叶级数的和函数不再相等

当n从1取得30时，傅里叶级数的和函数基本与函数完全吻合！！

作图过程总览

f(x)	a_ncos(nx)
余弦级数	函数及其余弦级数