【Matlab算法】梯度下降法（Gradient Descent）（附MATLAB完整代码）

前言

梯度下降法

梯度下降法是一种用于最小化函数的迭代优化算法。其基本思想是通过计算函数的梯度 (导数)，找到函数的最小值点。在梯度下降法中，参数（或变量）沿着负梯度的方向进行更新，以降低函数值。

以下是梯度下降法的基本描述：

1. 选择初始点: 选择一个初始点作为优化的起始点。
2. 计算梯度: 在当前点计算函数的梯度（导数）。梯度是一个向量，包含每个变量的偏导数。
3. 更新参数：沿着负梯度的方向调整参数。这个调整的步长由一个称为学习率的正数控制，学习率决定了每次更新参数的大小。
   参数 ${}^{(t+1)}=$ 参数 ${}^{(t)}-\eta \cdot \nabla f($ 参数 ${}^{(t)})$
   其中 $\eta$ 是学习率， $\nabla f($ 参数 ${}^{(t)})$ 是函数在当前参数点的梯度。
4. 迭代: 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件，如达到预定的迭代次数或梯度足够小。

梯度下降法的成功取决于选择合适的学习率、初始点以及停止条件。不同的变种包括随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，它们在计算梯度时使用不同的数据集。 SGD使用随机样本，而BGD使用整个数据集。这些变种在不同问题和数据集上表现出不同的性能。

正文

对于给出的函数 $f(x)$ :
$$f(x)=x(1{)}^2+x(2{)}^2-2\cdot x(1)\cdot x(2)+\sin (x(1))+\cos (x(2))$$

计算其梯度，然后使用梯度下降法进行优化。梯度是一个向量，包含每个变量对应的偏导数。对于这个函数，梯度 $\nabla f(x)$ 可以通过对每个变量求偏导数得到。
$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x(1)}=2\cdot x(1)-2\cdot x(2)+\cos (x(1))\\ & \frac{\partial f}{\partial x(2)}=2\cdot x(2)-2\cdot x(1)-\sin (x(2))\end{array}$$

然后，梯度下降法的更新规则为：
$$x(t+1)=x(t)-\eta \cdot \nabla f(x(t))$$

其中 $\eta$ 是学习率，是一个控制每次参数更新步长的正数。选择一个合适的学习率，并从初始点 $x(0)$ 开始迭代进行优化。

这是一个简单的梯度下降法的框架，可以根据具体情况调整参数和终止条件。梯度下降法有不同的变种，例如随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，具体的选择取决于问题的性质和数据集的大小。

代码实现

伪代码

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));

% 定义目标函数的梯度
grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];

% 设置参数
学习率 = 0.01;
最大迭代次数 = 1000;
容许误差 = 1e-6;

% 初始化起始点
x = [0; 0];

% 梯度下降
for 迭代次数 = 1:最大迭代次数
    % 计算梯度
    梯度 = grad_f(x);
    
    % 更新参数
    x = x - 学习率 * 梯度;
    
    % 检查收敛性
    if norm(梯度) < 容许误差
        break;
    end
end

% 显示结果
fprintf('最优解: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));
fprintf('f(x)的最优值: %f\n', f(x));
fprintf('迭代次数: %d\n', 迭代次数);

可运行代码

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));

% 定义目标函数的梯度
grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];

% 设置参数
learning_rate = 0.01;
max_iterations = 1000;
tolerance = 1e-6;

% 初始化起始点
x = [0; 0];

% 梯度下降
for iteration = 1:max_iterations
    % 计算梯度
    gradient = grad_f(x);
    
    % 更新参数
    x = x - learning_rate * gradient;
    
    % 检查收敛性
    if norm(gradient) < tolerance
        break;
    end
end

% 显示结果
fprintf('Optimal solution: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));
fprintf('Optimal value of f(x): %f\n', f(x));
fprintf('Number of iterations: %d\n', iteration);

结果