【leetcode：1944. 队列中可以看到的人数】单调栈算法及其相关问题

1944. 队列中可以看到的人数

题目

有 n 个人排成一个队列，从左到右 编号为 0 到 n - 1 。给你以一个整数数组 heights ，每个整数 互不相同，heights[i] 表示第 i 个人的高度。

一个人能看到他右边另一个人的条件是这两人之间的所有人都比他们两人矮。更正式的，第 i 个人能看到第 j 个人的条件是 i < j 且 min(heights[i], heights[j]) > max(heights[i+1], heights[i+2], ..., heights[j-1]) 。

请你返回一个长度为 n 的数组 **answer **，其中 **answer[i] **是第 i 个人在他右侧队列中能看到的人数。

原始想法

对于序号为i的人，右侧第一个高度大于等于他的人序号为j，那么j右侧的人，i一定无法看到了。
那只需要判断i和j之间的人

“右侧第一个高度大于等于他的人”，这句话让人很自然的想到单调栈，因为单调栈的常见适用场景就是寻找左（右）侧第一个比当前元素大（小）的元素。

利用单调栈找到i右侧第一个高度大于等于他的j后，如何判断i是否能看到中间的某个人k呢？按照题目描述，i和k之间的所有人都比他们两人矮，这用遍历就能解决，但时间复杂度显然比较高，有没有办法优化一下？

可以再利用单调栈，寻找每个人左侧第一个高度大于等于他的人，如果k左边第一个高度大于等于他的人位置小于等于i，说明i和k之间的人高度都小于他们，也就是满足题目中被看到的条件。

总之，最终的思路是：

利用单调栈，找到每个人左边和右边第一个高度大于等于他的人，
- 假设l[i]表示i左侧第一个高度大于等于他的人的位置，r[i]表示i右侧第一个高度大于等于他的人的位置
对于i来说，遍历i和r[i]之间的所有元素，比如i < k ≤ r[i]，如果l[k] ≤ i，那么i就能看到k。

代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> canSeePersonsCount(vector<int>& heights) {
        int len = heights.size();
        stack<int> sl = stack<int>();
        stack<int> sr = stack<int>();
        vector<int> l = vector<int>(len, -1); // 左边第一个高度大于等于
        vector<int> r = vector<int>(len, len);
        // 利用单调栈寻找l
        for(int i = 0;i < len;++i) {
            while(!sl.empty() && heights[i] > heights[sl.top()]) {
                sl.pop();
            }
            l[i] = sl.empty() ? -1 : sl.top();
            sl.push(i);
        }
        // 利用单调栈寻找r
        for(int i = len - 1;i >= 0;--i) {
            while(!sr.empty() && heights[i] > heights[sr.top()]) {
                sr.pop();
            }
            r[i] = sr.empty() ? len : sr.top();
            sr.push(i);
        }
        
        vector<int> res(len, 0);
        for(int i = 0;i < len - 1;++i) {
            int j = i + 1;
            for(;j < r[i];++j) {
                if(l[j] <= i) {
                    ++res[i];
                }
            }
            if(j != len) {
                ++res[i];
            }
        }
        return res;
    }
};

利用单调栈计算l和r的时间复杂度是 $O (n)$ ，针对每个人又遍历判断是否满足“看到”的要求，所以总体时间复杂度是 $O(n^2)$ 。提交结果是对于某些情况超时，说明这种解决方案的时间复杂度还是太高了。

问题出在哪里呢？

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最终方案

深究利用单调栈计算l（r）的过程：对于某个元素i，如果栈顶元素高度小于i的高度，就把栈顶元素弹出，直到栈顶元素高度大于等于他的高度或者栈空。元素i入栈

这个过程中，弹出的元素和元素i之间一定满足“两者之间的元素高度都小于两者”，否则当前栈顶元素在之前就会被出栈。

所以，其实在上述过程中弹出的元素就是i能够看到的人，因此原始想法中的遍历过程是重复计算的。

最终代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> canSeePersonsCount(vector<int>& heights) {
        int len = heights.size();
        stack<int> s = stack<int>();
        vector<int> res(len, 0);
        for(int i = len - 1;i >= 0;--i) {
            while(!s.empty() && heights[i] > heights[s.top()]) {
                ++res[i];
                s.pop();
            }
            if(!s.empty()) {
                ++res[i];
            }
            s.push(i);
        }
        return res;
    }
};

这样时间复杂度其实就只有 $O (n)$ 了，理所应当地通过了。

单调栈知识点及相关题目

单调栈知识点可以参考：https://oi-wiki.org/ds/monotonous-stack/

leetcode上其实有很多单调栈相关题目，比如剑指 Offer II 039. 直方图最大矩形面积等。