背包九讲&01背包

01背包

• 题目：
  有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品耗费的费用为C_i，得到的价值为W_i。每种物品仅有一件，可选择放或不放（不放就是0，放就是1，谓之01背包）。将哪些物品装入背包可使总价值最大？
  
  
• 动态规划分析:
  这是一个动态规划求最优的问题。动态规划都可以简单理解为填表法，利用表记录子问题的最优解，达到以空间换时间的目的。一般都可以维护一个记录值的value[][]表和一个记录状态的status[][]表
  
  

• 状态转移方程:

  设F[i][v]表示容量为v的背包在选择前i件物品所能获得的最大价值。

  F[i][v]=max{F[i-1][v],F[i-1][v-c_i]+w_i}

  理解此方程非常重要，理解了此方程就不难理解其他背包问题的方程了。
  • 解释：当背包容量为v时，第i件物品若不放，则最大价值和放入前i-1件物品的价值是一样的，即可直接参考F[i-1][v]。若放入第i件，则在剩余容量为v-c_i的背包中放入前i-1件物品再加上第i件物品的w_i，这里容量要减c_i的原因是因为要腾出空间放入第i件物品（这里有点解释得不是很清楚，感觉有点不负责任啊，但是算法就是这样，慢慢理解吧）。以下给出两个表，可以模拟以下如何填F[][]表来加深理解状态转移方程。
    
    
  • 假设输入：
    
    
    
  • F[][]表(背包容量为8)：
    
    
    

• 伪代码：

• 为了别的背包问题能方便调用此函数，一般把for i to N这一层循环去掉（即在函数外循环）：

    ZeroOnePack(F,C,W)
        for v<-0 to V
            F[i][v] = max{F[i-1][v],F[i-1][v-ci]+wi}

    //然后再
         for i<--0 to N
             ZeroOnePack(F,ci,wi)