图像的频域变换

关于傅里叶变换，网上有很多解答很棒的文章。可以在参考1,2,3,4中找到。

图像频域与梯度的关系

傅里叶级数

傅里叶级数展开式

$$\begin{align} f(x)=a_0\cdot 1+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) \end{align}$$
其中：
$$\begin{align} a_0&=\frac{\langle f(x),1\rangle}{\langle 1,1\rangle}=\frac{1}{2\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot 1\cdot dx\\ a_n&=\frac{\langle f(x),cos(nx)\rangle}{\langle cos(nx),cos(nx)\rangle}=\frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cdot cos(nx)\cdot dx\\ b_n&=\frac{\langle f(x),sin(nx)\rangle}{\langle sin(nx),sin(nx)\rangle}=\frac{1}{\pi}\cdot\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot sin(nx)\cdot dx \end{align}$$
这里， $n=1,2,3,\cdots$
当函数写成傅里叶级数形式后，可以将 $a_n$， $b_n$看成是常量，对 $f(x)$求导，得到：
$$\begin{align} f'(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}(-n\cdot a_nsin(nx)+n\cdot b_ncos(nx))\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}n(-a_nsin(nx)+b_ncos(nx)) \end{align}$$

上述公式并没有严格证明，无穷项级数求导只是进行示意

时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为\omega_{0}的正弦波 cos（\omega_{0}t）看作基础，那么频域的基本单元就是$\omega_{0}$。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

1. 图像的傅里叶变换
2. 傅里叶分析之掐死教程（完整版）(转于知乎大神)
3. 如何理解傅里叶变换公式？