泛函分析 06.03 线性算子的谱理论 - 有界自共轭线性算子的谱

$\color{blue}{\S 6.3 有界自共轭线性算子的谱}$

$设 T 是 Hilbert 空间H到H的{\color{red}{有界线性算子}}.$
$根据定义 5.4.1, 如果$
$\qquad {\color{green}{T^{\ast} = T}}, 即 {\color{green}{(Tx, y) = (x, Ty), \forall x, y \in H}},$
$则称 T 是 {\color{red}{自共轭}}的.$
$\bullet 自共轭算子是 Hilbert 空间中一类十分重要的算子.$
$\bullet 它们可以看作是 {\color{blue}{\mathbb{R}^n 空间上对称算子(矩阵)}}的推广.$
$若{\color{blue}{A 是 \mathbb{R}^n 上的对称线性变换(矩阵)}},$
$\qquad {\color{red}{(Ax, y) = (x, Ay), \forall x, y \in \mathbb{R}^n,}}$
$那么我们有如下结论:$
$(1) {\color{blue}{A 的特征值是实的;}}$
$(2) {\color{blue}{A 的属于不同特征值的特征向量相互正交;}}$
$(3) {\color{red}{A 可以化为对角矩阵.}}$
$\qquad {\color{red}{对称矩阵一定正交相似于一个对角矩阵.}}$
$\bullet 由于自共轭算子有着某种对称性, {\color{blue}{自共轭线性算子的谱都是实的.}}$
$\bullet 它的不同特征值对应的特征元素{\color{blue}{相互正交}}.$
$\bullet 自共轭算子有着{\color{green}{重要的应用背景}}.$
$近代量子力学中的一些问题使用自共轭算子理论(特别$
$是谱理论)来研究.$

$\color{blue}{6.3.1 有界自共轭算子剩余谱集是空集}$

$定理 6.3.1 设 T 是 Hilbert 空间 H 上的{\color{blue}{自共轭算子}}, 则$
$T 的特征值是实的; 如果 \mu, \lambda \in \mathbb{R}, \mu \neq \lambda,$
$则零空间 \mathscr{N}(\lambda I - T) 和 \mathscr{N}(\mu I - T) {\color{red}{相互正交}}.$
$证明: {\color{blue}{首先证明自共轭算子 T 的特征值是实的.}}$
$因为 T 是自共轭的, 根据定理 5.4.7, 对于 \forall x \in H 有$
$\qquad (Tx, x) 是实的,$
$如果 \lambda 是 T 的特征值, x 是相应的特征元素, 我们有$
$\qquad (Tx, x) = (\lambda x, x) = \lambda (x, x),$
$推知 {\color{red}{\lambda 是实的}}.$
${\color{blue}{其次证明 \mathscr{N}(\lambda I - T) 和 \mathscr{N}(\mu I - T) 是正交的}}.$
$令 x \in \mathscr{N}(\lambda I - T), y \in \mathscr{N}(\mu I - T), 即$
$\qquad {\color{red}{Tx = \lambda x, T y = \mu y. }}$
$由于$
$\qquad (Tx, y) = (x, Ty),$
$于是$
$\qquad (\lambda x, y) = (x, \mu y),$
$注意到{\color{green}{\lambda, \mu 都是实的}}, 因此$
$\qquad (\lambda - \mu)(x, y) = 0,$
$由于 {\color{blue}{\mu \neq \lambda}}, 得到{\color{red}{(x, y) = 0}}, 即$
$\qquad \mathscr{N}(\lambda I - T) \perp \mathscr{N}(\mu I - T).$

$定理 6.3.2 设 T 是 Hilbert 空间 H 上的{\color{blue}{有界自共轭线性算子}},$
$则对任意的 x \in H, 有$
$\qquad \Vert (T - \lambda I)x \Vert = \Vert (T - \overline{\lambda} I) x \Vert \quad (6.3.1)$
$证明: 由于 T = T^{\ast}, 对于任何的 x \in H,$
${\color{blue}{((T - \lambda I)x, (T - \lambda I)x)}}$
$= ((T - \overline{\lambda} I)(T - \lambda I)x, x) = ((T^2 - \lambda T - \overline{\lambda} T + |\lambda|^2)x, x)$
$= ((T - \lambda I)(T - \overline{\lambda} I)x, x) = {\color{red}{((T - \overline{\lambda} I)x, (T - \overline{\lambda} I)x)}}$
$即$
$\Vert (T - \lambda I)x \Vert = \Vert (T - \overline{\lambda} I)x \Vert , \forall x \in H.$

$定理 6.3.3 设 T 是 Hilbert 空间 H 上的{\color{blue}{自共轭算子}}, 则$
$T 的{\color{red}{剩余谱是空集}}.$
$证明:分析:$
$\bullet \lambda 称为 T 的剩余谱, 如果 \lambda I - T 是一对一的, 但是$
$\lambda I - T 的值域在 X 中不稠密.$
$\bullet 要证明剩余谱是空集, 即证明$
$若 \lambda I -T 是{\color{green}{一对一的}}, 则 \mathscr{R}(\lambda I - T) 在 H 中 {\color{green}{稠密}}.$
$设 \lambda I - T 是一对一的, 即 {\color{blue}{\lambda 不是 T 的特征值}},$
$由于 T 是自共轭的线性算子, 根据定理 6.3.2 知道$
$\qquad {\color{blue}{\overline{\lambda} 不是 T 的特征值}},$
$即{\color{red}{\mathscr{N}(\overline{\lambda} I - T) = \lbrace 0 \rbrace}}.$
$由命题 5.3.8 (5.3.15)式和(\overline{\lambda} I - T)^{\ast} = (\lambda I - T)知,$
$\qquad \lbrace \mathscr{N}(\overline{\lambda} I - T) \rbrace ^{\perp} = \overline{\mathscr{R}(\lambda I - T)},$
$于是$
$\qquad \overline{\mathscr{R}(\lambda I - T)} = H,$
$这意味着 {\color{red}{\mathscr{R}(\lambda I - T) 在 H 中稠密}}.$
$由此知 \lambda 不是 T 的剩余谱, 即 T 的{\color{blue}{剩余谱是空集}}.$
$注：当 T 是{\color{green}{自共轭算子}}时, 若 \lambda \in \sigma(T), 但 \lambda 不是特征$
$值, 则 \lambda \in \sigma_{c}(T).$

$\color{blue}{6.3.2 有界自共轭算子谱集的性质}$

$定理 6.3.4 复数 \lambda {\color{blue}{属于自共轭算子 T 的谱集合}} 的充要条件是$
$\qquad 存在一个点列 \lbrace x_n \rbrace, 满足$
$\qquad {\color{red}{\Vert x_n \Vert = 1, 且 \Vert (\lambda I - T) x_n \Vert \to 0 (n \to \infty)}} \quad (6.3.2)$
$证明: 必要性. 要证明:若 \lambda 是自共轭算子 T 的谱点, 则 (6.3.2)式成立.$
$设 \lambda 是自共轭算子 T 的谱点, 假如(6.3.2)式不成立, 则存在 m > 0, 使得$
$\qquad {\color{blue}{\Vert (\lambda I - T) x \Vert \geq m \Vert x \Vert (x \in \mathscr{D}(T)), }}$
$即 \lambda I - T 是一对一的.$
$根据定理 4.4.2,$
${\color{blue}{存在逆算子 (\lambda I - T)^{-1}, 且逆算子有界}}.$
$由于 T 是自共轭的, 由定理 6.3.3 的证明知,$
$\qquad {\color{green}{\mathscr{R}(\lambda I - T) 在 H 中稠,}}$
$于是 \lambda \in \rho(T), 矛盾.$
$注: \lambda 称为 T 的正则点, 如果 \lambda I - T 的值域 \mathscr{R}(\lambda I - T) 在 X$
$中{\color{red}{稠密}}. 并且 \lambda I - T 有{\color{red}{连续的逆算子}}.$
$充分性.要证明:若存在一个点列 \lbrace x_n \rbrace 满足 (6.3.2) 式$
${\color{blue}{\Vert x_n \Vert = 1, 且 \Vert (\lambda I - T) x_n \Vert \to 0 (n \to \infty)}}$
$则 \lambda \in \sigma(T).$
$当{\color{green}{\lambda 是特征值}}, 命题显然成立.$
$若{\color{blue}{\lambda 不是特征值}}, 逆算子存在.$
$令 y_n = (\lambda I - T) x_n, 我们有$
$\qquad x_n = (\lambda I - T)^{-1} y_n.$
$假若设 \lambda \in \rho(T), 则{\color{red}{(\lambda I - T)^{-1} 有界}}, \exists M > 0, 使得$
$\qquad \Vert x_n \Vert = \Vert (\lambda I - T)^{-1} y_n \Vert$
$\qquad \leq M \Vert y_n \Vert = M \Vert (\lambda I - T) x_n \Vert,$
$上式左边等于1, {\color{blue}{而根据(6.3.2)式, 右边趋近于零}}, 矛盾.$
$于是 {\color{red}{\lambda \in \sigma(T)}}.$
$注: 从证明中看到, 对自共轭算子, 如果{\color{green}{存在 m > 0}}, 使得$
$\qquad \Vert (\lambda I - T) x \Vert \geq m \Vert x \Vert (x \in \mathscr{D}(T)),$
$则{\color{red}{\lambda 是 T 的正则点}}.$

$\blacktriangleright 对{\color{blue}{自共轭算子的谱半径}}(见定理 6.2.9 和 (6.2.20)式)$
$我们有如下定理:$

$定理 6.3.5 设 T 是 Hilbert 空间 H 上的{\color{red}{自共轭算子}}, 则$
$\qquad {\color{green}{谱半径}} r_{\sigma}(T) = \Vert T \Vert$
$证明: 由于 T^{\ast} = T, 结合命题 5.3.7 有$
$\qquad \Vert T^{\ast} T \Vert = {\color{blue}{\Vert T^2 \Vert = \Vert T \Vert ^2}},$
$于是当 {\color{red}{n = 2^m}} (m 是正整数)时, 有 \Vert T^n \Vert = \Vert T \Vert^n.$
$由定理 6.2.7 知$
$\qquad r_{\sigma}(A) = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} = \lim \limits_{m \to \infty, \\ n = 2} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}}$
$\qquad = \lim \limits_{m \to \infty, \\ n=2} (\Vert T \Vert ^n)^{\frac{1}{n}} = \Vert T \Vert.$

$定理 6.3.6 有界自共轭算子 T 的谱是{\color{blue}{实数集合的一个子集合}}, 且$
$\qquad \sigma(T) \subset {\color{red}{[- \Vert T \Vert, \Vert T \Vert]}} \quad (6.3.3)$
$证明: 令 \lambda = \rho + i \sigma (\sigma \neq 0), 则$
$\qquad {\color{blue}{\Vert (\lambda I - T)x \Vert ^2}} = (\rho x - Tx, \rho x - Tx) + (i \sigma x, i \sigma x)$
$\qquad \geq {\color{blue}{\sigma ^2 \Vert x \Vert ^2}}.$
$因此 \lambda I - T 是{\color{red}{下方有界}}, 有定理 6.3.4 知, \lambda \in \rho(T).$
$由此可知 T 的谱点只能在实轴上,$
$结合定理 6.3.5 (r_{\sigma}(T) = \Vert T \Vert) 可知$
$\qquad \sigma(T) \subset [-\Vert T \Vert, \Vert T \Vert].$
$注：若 T 是 Hilbert 空间上的一个自共轭算子, 结合定理$
$6.3.3 和定理 6.3.1 有$
$\bullet {\color{blue}{\sigma(T) \subset [- \Vert T \Vert, \Vert T \Vert] \subset \mathbb{R};}}$
$\bullet {\color{green}{\sigma_{r}(T) = \emptyset;}}$
$\bullet 对应于不同特征值的特征元素是{\color{red}{相互正交}}的.$

$\color{blue}{6.3.3 有界自共轭线性算子谱的分布}$

$\bullet 如果 T 是 Hilbert 空间上的{\color{blue}{有界自共轭}}线性算子,$
$(1) 根据定理 5.4.7 我们有:$
$\qquad {\color{red}{(Tx, x) 是实的, \forall x \in H.}}$
$(2)根据定理 5.4.8 我们有:$
$\qquad {\color{green}{\Vert T \Vert = \sup \limits_{x \in H} \lbrace |(Tx, x) | | \Vert x \Vert = 1 \rbrace.}}$
$\bullet 对于 Hilbert 空间上的{\color{blue}{有界线性算子}} T 我们称$
$\qquad {\color{red}{W(T) = \lbrace (Tx, x) | \Vert x \Vert = 1 \rbrace }} \quad (6.3.5)$
$为 T 的{\color{green}{数值域}}.$
$\bullet 对于 H 上的{\color{blue}{有界自共轭}}算子 T 的{\color{green}{谱分布}}, 我们可以$
$从{\color{red}{数值域W(T)}}中得到更精确的估计.$

$定理 6.3.7 设 T 是 Hilbert 空间 H 到 H 的{\color{blue}{有界自共轭线性算子}}, 令$
$m = \inf \limits_{\Vert x \Vert = 1} (Tx, x), M = \sup \limits_{\Vert x \Vert = 1}(Tx, x) \quad (6.3.6)$
$则$
$\qquad \sigma(T) \subseteq [m, M].\quad (6.3.7)$
$证明: 因为 T 是自共轭算子, \sigma(T) 是在{\color{red}{实轴}}上.$
$下面证明对{\color{green}{任意的实数 c > 0}}, 有$
$\qquad {\color{blue}{\lambda = M + c \in \rho(T).}}$
$对于 \forall x \in H, x \neq 0, 令 v = \dfrac{x}{\Vert x \Vert}, 则$
$\qquad {\color{red}{(Tx, x)}} = \Vert x \Vert ^2 (Tv, v)$
$\qquad \leq \Vert x \Vert ^2 \sup \limits_{\Vert v \Vert = 1} (Tv, v) = {\color{red}{(x, x)M}},$
$于是$
$\qquad {\color{blue}{\Vert (\lambda I - T) x \Vert \Vert x \Vert }}$
$\geq ((\lambda I - T)x, x) = \lambda (x, x) - (Tx, x)$
$\geq (\lambda - M)(x, x) = {\color{blue}{c \Vert x \Vert ^2}}$
$其中 c = \lambda - M > 0.根据定理 6.3.4, \lambda \in \rho(T).$
$对于 \lambda < m, 可以用类似的方法证明 \lambda \in \rho(T).$

$\blacktriangleright 结合定理 5.4.8 有如下定理:$
$定理 6.3.8 设 T 是从 Hilbert 空间 H 到 H 的{\color{red}{有界自共轭线性算子}}, 则$
$\qquad \Vert T \Vert = \max \lbrace |m|, |M| \rbrace = \sup \limits _{\Vert x \Vert = 1} |(Tx, x)| \quad (6.3.8)$

$\blacktriangleright 结合定理 6.2.9 和定理 6.3.5 有如下命题:$
$命题 6.3.9 设 T 是 Hilbert 空间 H 到 H 的{\color{green}{有界自共轭线性算子}}, 则$
${\color{blue}{\sup \lbrace |\lambda| | \lambda \in \sigma(T) \rbrace }} = r_{\sigma}(T) = \Vert T \Vert$
$\qquad = \sup \limits_{\Vert x \Vert = 1} |(Tx, x)| \quad (6.3.9)$

$\blacktriangleright 进一步地我们有如下定理:$
$定理 6.3.10 设 T 是 Hilbert 空间 H 到 H 的{\color{green}{有界自共轭算子}},$
$M, m 同定理 6.3.7, 则$
$\qquad {\color{blue}{m \in \sigma(T), M \in \sigma(T).}} \quad (6.3.10)$
$证明: 对于 c > 0, 算子 T + cI 相应的m, M 以及 \sigma(T)$
$都向右平移c, 因此不妨设 0 \leq m \leq M.$
$根据定理 6.3.8, 我们有$
$\qquad \Vert T \Vert = M, M = \sup \limits_{\Vert x \Vert = 1}(Tx, x),$
$根据 M 的定义, {\color{red}{存在点列 \lbrace x_n \rbrace \subset H}}, \Vert x_n \Vert = 1,$
$n = 1, 2, \cdots, 且$
$\qquad (Tx_n, x_n) \to M(n \to \infty).$
$于是$
$\Vert Tx_n - Mx_n \Vert ^2 = (Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n)$
$= \Vert Tx_n \Vert ^2 - 2M (Tx_n, x_n) + M^2 \Vert x_n \Vert ^2$
$\leq 2 M^2 - 2M (Tx_n, x_n) \to 0 (n \to \infty).$
$由定理 6.3.4 可知{\color{blue}{M \in \sigma(T).}}$
$类似地, 可以证明{\color{green}{m \in \sigma(T)}}.$
$注1：根据命题 6.3.9, 并结合 \sigma(T) 是闭的, 也可以证明定理 6.3.10.$
$注2：定理 6.3.7 和命题 6.3.9 从数值域入手研究了有界自$
$共轭线性算子的谱分布的性质,得到了$
$\qquad {\color{blue}{\sigma(T) \subset \overline{W(T)} }}(参考文献[15] p.105).$