泛函分析 06.02 线性算子的谱理论 - 有界线性算子的谱集

$\color{blue}{\S 6.2 有界线性算子的谱集}$

$\blacktriangleright 在这一节我们研究有界线性算子的谱集合的性质.$
$\blacktriangleright 我们将证明:{\color{red}{有界线性算子的谱集}}{\color{green}{非空}},且是复数域 \mathbb{C}$
$中的{\color{green}{有界闭集}}(紧集).$

$\color{blue}{6.2.1 有界线性算子的谱集是有界集}$

$定理 6.2.1 设 X 是 Banach 空间, T \in \mathscr{B}(X), 如果$
${\color{blue}{\Vert T \Vert < 1}}, 则算子{\color{blue}{ I - T }} 有 {\color{red}{有界逆算子}}, 并且$
$\qquad (I-T)^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} T^n, \quad (6.2.1)$
$\qquad \Vert (I-T)^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{1 - \Vert T \Vert} \quad (6.2.2)$
$证明:考虑$
$\qquad {\color{blue}{\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k = I + T + T^2 + \cdots, \quad (6.2.3)}}$
$即 S_n = \sum \limits_{k=0}^{n-1} T^k, 则对于任何的正整数 m, n (m > n),$
$\qquad \Vert S_m - S_n \Vert = \Vert \sum \limits_{k=n}^{m-1} T^k \Vert \leq \sum \limits_{k=n}^{m-1} \Vert T \Vert ^k.$
$由条件 {\color{blue}{\Vert T \Vert < 1}}知, {\color{red}{\lbrace S_n \rbrace}}是 \mathscr{B}(X)中的 {\color{red}{Cauchy 列}},$
$由 X 是 Banach 空间, 可知 \mathscr{B}(X) 是 Banach 空间.$
$所以 {\color{blue}{\lbrace S_n \rbrace }} 按算子范数 {\color{blue}{收敛}}到一个有界线性算子, 即由$
$(6.2.3)式给出的级数按范数收敛.$
$由于$
$(I - T)(I + T + T^2 + \cdots + T^{n-1})$
$\qquad = (I + T + T^2 + \cdots + T^{n-1})(I - T) = {\color{blue}{I - T^n}}, \quad (6.2.4)$
$以及$
$\qquad \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert \leq \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T \Vert ^n = 0$
$在 (6.2.4) 式两边令 n \to \infty, 得到$
$\qquad (I - T) (\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k) = (\sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k)(I-T) = I.$
$这说明算子 {\color{red}{I-T}} 有 {\color{red}{逆算子}}, 且$
$\qquad {\color{blue}{(I-T)^{-1} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k.}}$
$结合定理 2.5.1 有$
$\qquad \Vert (I-T)^{-1} \Vert = \Vert \sum \limits_{k=0}^{\infty} T^k \Vert$
$\qquad \leq \sum \limits_{k=0}^{\infty} \Vert T \Vert ^k = \dfrac{1}{1 - \Vert T \Vert} .$
$\bullet 注意对照:(I - T)^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} T^n (\Vert T \Vert < 1)(见(6.2.1)式)$
$和 \dfrac{1}{1 - x} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^n (|x| < 1) {\color{purple}{形式上的相似}}.$

$定理 6.2.2 设 X 是 {\color{blue}{Banach}} 空间, {\color{blue}{T \in \mathscr{B}(X)}}, 则$
${\color{green}{\sigma(T)是有界集}}.$
$证明:对于 {\color{red}{|\lambda| > \Vert T \Vert}}, 显然有 {\color{green}{\Vert \dfrac{1}{\lambda}T \Vert < 1}}.$
$由定理6.2.1 知, {\color{blue}{I - \dfrac{1}{\lambda} T}} 有 {\color{blue}{有界的逆算子}}, 从而$
$\qquad (\lambda I - T)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}(I- \dfrac{T}{\lambda})^{-1} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1} T^n \quad (6.2.5)$
$再由(6.2.2)式知$
$\qquad \Vert (I - \dfrac{T}{\lambda})^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{1 - \frac{\Vert T \Vert}{|\lambda|}} = \dfrac{|\lambda|}{|\lambda| - \Vert T \Vert},$
$于是$
$\qquad \Vert (\lambda I - T)^{-1} \Vert \leq \dfrac{1}{|\lambda| - \Vert T \Vert}, \quad (6.2.6)$
$即当{\color{red}{|\lambda| > \Vert T \Vert }} 时 {\color{red}{\lambda \in \rho(T)}}.$
$即谱集合是有界的, {\color{blue}{\sigma(T) \subset \overline{B}(0, \Vert T \Vert)}}.$

$\color{blue}{6.2.2 有界线性算子的谱集是闭集}$

$定理 6.2.3 设 T 是 Banach 空间 X 到 X 的有界线性$
$算子, {\color{blue}{\lambda \in \rho(T)}}, 且{\color{blue}{|\mu| < \Vert (\lambda I - T)^{-1} \Vert ^{-1} }},$
$则 {\color{red}{\lambda + \mu \in \rho(T)}}, 即 {\color{red}{\rho(T)是一个开集}}.$
$证明: 设 \lambda \in \rho(T), 考虑$
$\qquad (\lambda + \mu) I - T = (\lambda I - T)[I + \mu (\lambda I - T)^{-1}].$
$由{\color{blue}{\Vert \mu (\lambda I - T)^{-1} \Vert < 1}} 及定理 6.2.1 知道$
$\qquad I + \mu (\lambda I - T)^{-1}$
$有 {\color{green}{有界的逆算子}}, 于是$
$\qquad R_{\lambda + \mu}(T) = [I + \mu(\lambda I - T)^{-1}]^{-1} R_{\lambda}(T) \quad (6.2.7)$
$且 R_{\lambda + \mu}(T) 可以表示为 R_{\lambda}(T)的幂级数$
$\qquad R_{\lambda + \mu}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \mu ^n (R_{\lambda}(T))^{n+1}.$
$这说明{\color{red}{R_{\lambda + \mu}(T) 存在且有界}}, 即 {\color{blue}{\lambda + \mu \in \rho(T)}}.$
$这就证明了 \rho(T) 是开集.$
$注1: 定理说明$
$\bullet {\color{blue}{谱集合是一个闭集}}.$
$\bullet 以后我们可以看到:对于{\color{green}{复平面中的任何闭集}} F \subset \mathbb{C},$
$都可以{\color{green}{构造一个线性算子 T}}, 使得{\color{blue}{\sigma(T) = F}}(参阅推$
$论 7.4.23).$
$注2: 结合定理 6.2.2, T \in \mathscr{B}(X), 则 \sigma(T) 是位于闭球$
$\lbrace z: |z| \leq \Vert T \Vert \rbrace 中的{\color{red}{有界闭集}}.$
$注3: 从定理 6.2.3 证明中我们看到, 若 {\color{green}{z_0 \in \rho(t)}}, 则$
$\qquad {\color{blue}{\lbrace z: |z - z_0| < \Vert R_{z_0}(T) \Vert ^{-1} \rbrace \subset \rho(T),}}$
$因此$
$\qquad dist(z_0, \sigma(T)) \geq \Vert R_{z_0}(T) \Vert ^{-1} \quad (6.2.8)$

$\color{blue}{6.2.3 有界线性算子的谱集非空}$

$引理 6.2.4 设 {\color{green}{\lambda, \mu \in \rho(T)}}, 则$
$\qquad {\color{blue}{R_{\lambda}(T) - R_{\mu}(T) = (\mu - \lambda) R_{\lambda}(T) R_{\mu}(T). \quad (6.2.9)}}$
$证明: 由于$
$(\lambda I - T)^{-1} = (\lambda I - T)^{-1}{\color{red}{(\mu I - T)(\mu I - T)^{-1}}}$
$= (\lambda I- T)^{-1}[(\mu - \lambda)I +(\lambda I - T)] (\mu I - T)^{-1}$
$=(\mu - \lambda)(\lambda I - T)^{-1}(\mu I - T)^{-1} + (\mu I - T)^{-1},$
$引理得证.$
$\blacktriangleright {\color{blue}{考虑在正则集 \rho(T) 上定义的算子值函数:}}$
$\qquad \lambda \to R_{\lambda}(T), \lambda \in \rho(T).$
$\bullet 如上定义的算子值函数是从{\color{blue}{\rho(T)}}到有界线性算子组成$
$的 Banach 空间 {\color{blue}{\mathscr{B}(X)}} 上的一个映射.$
$\bullet 我们称此映射{\color{green}{在 \lambda_0 点是连续的}}, 若 \lambda, \lambda_0 \in \rho(T) 且$
$\lambda \to \lambda_0 时, 在{\color{red}{算子范数收敛}}的意义下, 有$
${\color{blue}{R_{\lambda}(T) \to R_{\lambda_0}(T)(\Vert R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T) \Vert \to 0, \lambda \to \lambda_0).}} \quad (6.2.10)$
$\bullet 我们称它{\color{green}{在 \lambda_0是可微的}}, 如果当 \lambda \to \lambda_0 时,$
$\qquad \dfrac{R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} \quad (6.2.11)$
$在 \mathscr{B}(X) 中{\color{red}{按算子的范数收敛}}.$

$定理 6.2.5 在正则集 \rho(T) 中, 预解式$
$\qquad {\color{blue}{R_{\lambda}(T): \lambda \in \rho(T) \subset \mathbb{C} \mapsto \mathscr{B}(X)}}$
$是关于 \lambda 的{\color{red}{算子值解析函数}}.$
$证明:{\color{green}{首先证明 R_{\lambda}(T) 关于 \lambda 连续.}}$
$设 \lambda_0 \in \rho(T), 令 h = \lambda - \lambda_0, 由 (6.2.7) 式可知$
$\qquad R_{\lambda}(T) = R_{\lambda_0 + h}(T)$
$\qquad = [I + h(\lambda_0 I - T)^{-1}]^{-1} R_{\lambda_0}(T),$
$只有 {\color{red}{|h| < \dfrac{1}{2\Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert} }}, 根据定理 6.2.1,$
$\Vert R_{\lambda}(T) \Vert < \dfrac{1}{1 - \Vert h R_{\lambda_0}(T) \Vert } \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert < 2 \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert.$
$根据引理 6.2.4, 又有$
$\Vert R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T) \Vert = |h| \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert$
$\qquad \leq 2|h| \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert$
$\qquad = 2 |h| \Vert R_{\lambda_0}(T) \Vert ^2 \to 0(\lambda \to \lambda_0).$
${\color{blue}{再证 R_{\lambda}(T) 关于 \lambda 可微.}}$
$由引理 6.2.4 和 R_{\lambda}(T) 的连续性可知$
$\dfrac{R_{\lambda}(T) - R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} = \dfrac{(\lambda_0 - \lambda)R_{\lambda}(T) R_{\lambda_0}(T)}{\lambda - \lambda_0} \to -(R_{\lambda_0}(T))^2(\lambda \to \lambda_0).$

$定理 6.2.6 设 T 是有界线性算子, 则 \sigma(T) \neq \emptyset.$
$证明:{\color{blue}{假若不然}}, \rho(T) = \mathbb{C}, 由定理 6.2.5 知算子值函数$
$\qquad R_{\lambda}(T): \mathbb{C} \mapsto \mathscr{B}(X) \quad (6.2.12)$
$在{\color{red}{复平面 \mathbb{C} 上解析}}. 当|\lambda| > \Vert T \Vert 时, 由 (6.2.5), (6.2.6)$
$\qquad R_{\lambda}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (\lambda)^{-n-1} T^n,$
$且$
$\qquad \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \leq \dfrac{1}{|\lambda| - \Vert T \Vert}, |\lambda| > \Vert T \Vert . \quad (6.2.13)$
$由于 {\color{blue}{R_{\lambda}(T) 在 \mathbb{C} 上解析}}, 所以 \Vert R_{\lambda}(T) \Vert 在 \mathbb{C} 上连续,$
$于是在 |\lambda| \leq \Vert T \Vert 上有界.$
$结合 (6.2.13) 式, {\color{green}{\Vert R_{\lambda}(T) \Vert 在复平面 \mathbb{C} 上有界.}}$
$即存在 M > 0 使得$
$\qquad {\color{blue}{\Vert R_{\lambda}(T) \Vert < M,}} \forall \lambda \in \mathbb{C} \quad (6.2.14)$
$对于 \mathscr{B}(X) 上的任意一个有界线性泛函 f \in \mathscr{B}(X)^{\ast}$
$\qquad f: \mathscr{B}(X) \mapsto \mathbb{C}, \quad (6.2.15)$
$令$
$\qquad {\color{red}{u_f(\lambda) = f(R_{\lambda}(T))}} \quad (6.2.16)$
$则 u_f(\lambda) 是 {\color{blue}{整个复平面上定义的数值函数}},$
$\qquad u_f : \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} \quad (6.2.17)$
$由于 f 的连续性和定理 6.2.5 知, {\color{green}{u_f(\lambda) 是复平面上的解析函数}}.$
$结合(6.2.14) 式, 我们有$
$\qquad |u_f(\lambda)| = |f(R_{\lambda}(T))|$
$\qquad \leq \Vert f \Vert \Vert R_{\lambda}(T) \Vert \leq \Vert f \Vert M.\quad (6.2.18)$
${\color{blue}{即 u_f(\lambda)在整个复平面 \mathbb{C} 上有界}},$
$根据复变函数中的 {\color{red}{Liouville 定理}},$
$\qquad u_f(\lambda) 是与 \lambda 无关的常值函数.$
$由 {\color{green}{Hahn-Banach 定理}}可知, \mathscr{B}(X) 上{\color{green}{存在足够多的线性泛函}},$
$可以区别 \mathscr{B}(X) 中不同的元素.$
$由于对 \forall f \in \mathscr{B}(X)^{\ast}, {\color{blue}{u_f(\lambda) 是常值函数}}, 可以推知$
$\qquad {\color{red}{R_{\lambda}(T) 是与 \lambda 无关的常值算子}}.$
$由引理 6.2.4 知 R_{\lambda}(T) \equiv 0,$
$这与 I = (\lambda I - T) R_{\lambda}(T)矛盾.$
$注:$
$\bullet {\color{green}{R_{\lambda}(T)}} 是{\color{blue}{从 \mathbb{C} 到 \mathscr{B}(X)}}的映射((6.2.12) 式);$
$\bullet {\color{green}{f}} 是 {\color{blue}{从 \mathscr{B}(X) 到 \mathbb{C}}}的映射((6.2.15) 式);$
$\bullet {\color{green}{u_f}} 是{\color{blue}{从 \mathbb{C} 到 \mathbb{C} }}的映射((6.2.17)式).$
$注意它们之间的逻辑关系和 Hahn-Banach 定理的应用.$

$\color{blue}{6.2.4 有界线性算子的谱半径}$

$定理 6.2.7 设 {\color{blue}{T \in \mathscr{B}(X)}}, 则极限$
$\qquad r_{\sigma}(T) = \lim \limits_{k \to \infty} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} = \inf \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} \quad (6.2.19)$
$存在.$
$证明: 令 {\color{red}{a_k = \lg \Vert T^k \Vert, }} 下面证明: {\color{red}{ \dfrac{a_k}{k} \to \beta = \inf \dfrac{a_k}{k} (k \to \infty).}}$
$根据教材(4.1.9) 式, 可知 \Vert T^{m+k} \Vert \leq \Vert T^m \Vert \Vert T^k \Vert, 因此$
$\qquad a_{m+k} = \lg \Vert T^{m+k} \Vert \leq \lg (\Vert T^m \Vert \cdot \Vert T^k \Vert)$
$\qquad = \lg \Vert T^m \Vert + \lg \Vert T^k \Vert = a_m + a_k.$
$对于固定的{\color{blue}{正整数m, k = mq + p}}, 其中 q, p 是整数使得 0 \leq p < m.$
$那么 a_k \leq qa_m + a_p, 于是 {\color{red}{\dfrac{a_k}{k} \leq \dfrac{q}{k} a_m + \dfrac{a_p}{k}. }}$
$对于固定的 m, 令 k \to \infty, \dfrac{q}{k} \to \dfrac{1}{m}, 因此$
$\qquad \lim \sup \dfrac{a_k}{k} \leq \dfrac{1}{m} a_m.$
$由于 m 是任意的, {\color{blue}{\lim \sup \dfrac{a_k}{k} \leq \beta.}} 另一方面, {\color{blue}{\dfrac{a_k}{k} \geq \beta}},$
$因此$
$\qquad \lim \inf \dfrac{a_k}{k} \geq \beta.$
$于是$
$\qquad \dfrac{a_k}{k} \to \beta = \inf \limits_{k} \dfrac{a_k}{k} (k \to \infty),$
$即$
$\qquad \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} \to \inf \limits_{k} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} (k \to \infty).$

$定义 6.2.8 称$
$\qquad {\color{blue}{r_{\sigma}(T) = \inf \limits_{k} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} = \lim \limits_{k \to \infty} \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}} }}$
$为有界线性算子 T 的 {\color{red}{谱半径}}.$
$\bullet 定理 6.2.7 显示, 对于任何正整数 k, r_{\sigma}(T) \leq \Vert T^k \Vert ^{\frac{1}{k}},$
$特别地, 有$
$\qquad r_{\sigma}(T) \leq \Vert T \Vert \quad (6.2.20)$
$\bullet 定理 6.2.7 证明了极限(6.2.19)的存在性, 给出了$
$r_{\sigma}(T) 的定义方式, 但是并未涉及 r_{\sigma}(T) 和谱的关系.$
$\blacktriangleright 事实上, {\color{blue}{谱半径刻画了谱的范围}}, 我们有下面的定理.$

$定理 6.2.9 设 T \in \mathscr{B}(X), 则$
$\qquad {\color{blue}{r_{\sigma}(T) = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| }} \quad (6.2.21)$
$证明: 令 \alpha = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda|,$
$\qquad \beta = r_{\sigma}(T) = \inf \limits_{n} \lbrace \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \rbrace = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}}.$
${\color{red}{首先证明 \alpha \leq \beta}}. 对于 {\color{blue}{\forall \lambda \in \sigma(T)}}, 可推知{\color{blue}{\lambda^n \in \sigma(T^n)}}.$
$假如不然, \lambda^n \in \rho(T^n), 由$
$(\lambda I)^n - T^n = (\lambda I - T) P_{\lambda}(T) = P_{\lambda}(T)(\lambda I - T) \quad (6.2.22)$
$及 P_{\lambda}(T) = \sum \limits_{j=1}^n \lambda^{j-1}T^{n-j}, 知 \lambda I - T 的{\color{green}{逆算子存在且有界}},$
$即{\color{green}{\lambda \in \rho(T)}}, 矛盾.$
$所以由定理 6.2.2, |\lambda^n| \leq \Vert T^n \Vert, 即$
$\qquad |\lambda| \leq \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} (n = 1, 2, \cdots).$
$于是$
$\qquad |\lambda| \leq \beta = \inf \limits_{n} \lbrace \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \rbrace,$
$这样 {\color{blue}{\alpha = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| \leq \beta.}}$
$反之, 对于 \forall \varepsilon > 0, 令 \lambda = \alpha + \varepsilon \in \rho(T),$
$根据定理 6.2.5, {\color{red}{R_{\lambda}(T) 是关于 \lambda 的解析函数}},$
$因此它有唯一的 Laurent 展开.$
$由定理 6.2.1, |\lambda| > \Vert T \Vert 时, 其展开式可由 (6.2.5) 表示.$
$由 {\color{green}{Laurent 展开的唯一性}}知 R_{\lambda}(T) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \lambda^{-n-1} T^n.$
$因此 {\color{red}{\Vert \lambda^{-n}T^n \Vert \to 0 (n \to \infty)}}, 于是当n 充分大时,$
$\qquad \Vert T^n \Vert \leq |\lambda|^n = (\alpha + \varepsilon)^n.$
$于是$
$\qquad \beta = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert T^n \Vert ^{\frac{1}{n}} \leq \alpha + \varepsilon.$
$由于 \varepsilon > 0 是任意的, \beta \leq \alpha, 定理得证.$
$\blacktriangleright 下面举例说明 (6.2.20) 式中的{\color{green}{严格不等号}}可以成立.$

$例 6.2.10 令$
$\qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
${\color{blue}{\sigma(A) = \sigma_p(A) = \lbrace 1 \rbrace, r_{\sigma}(T) = \sup \limits_{\lambda \in \sigma(T)} |\lambda| < \Vert A \Vert = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}. }}$

$例 6.2.11 令 X = C[a, b], {\color{green}{考虑 Volterra 积分算子 K}}:$
$\qquad (Kx)(s) = \int_a^s k(s, t) x(t) dt, a \leq s \leq b,$
$其中核 k(s, t) 是 a \leq t, s \leq b 上的连续函数, 通过归纳$
$法可以证明$
$\qquad \Vert K^k \Vert \leq \dfrac{M^k(b-a)^k}{(k-1)!}, k \geq 1, \quad (6.2.23)$
$其中 M = \sup \limits_{s,t \in [a, b]} |k(s, t)|.$
$由此得到$
$\qquad r_{\sigma}(K) = {\color{blue}{\lim \limits_{k \to \infty} \Vert K^k \Vert ^{\frac{1}{k}} }} = 0$
$我们得到 {\color{red}{\sigma(K) = \lbrace 0 \rbrace }}.$