一、K 凸函数的定义:
定义1
∀ a,b>0
K+f(a+x)−f(x)−a{f(x)−f(x−b)b}≥0
定义2
∀ a>0
K+f(a+x)−f(x)−af′(x)≥0
定义3
∀ 0<μ<1
μf(x1)+(1−μ)(f(x2)+K)≥f(μx1+(1−μ)x2)
定义3 其实由定义1 改造而来,只要令
x1=x−b
,
x2=x+a
,
μ=aa+b
即可。
二、一个 K 凸函数图像:
三、
s
,
S
的定义
设
f
为在定义域
[A,B]
上的一个 K 凸函数,
f∗
为其在定义域内的最小值,
Ss={x∣f(x)=f∗}=min{x∣f(x)≤f∗+K,x≤B}
注:
s
可能不在定义域内。
四、K-凸函数的相关性质
1.
f(x)
在区间
[A,s]
上单调递减.
证明:当
x<s
时,根据
s
的定义,显然
f(x)>f(S)+K
。令
x+a=S
,则根据定义1 或定义 2,当
x<s
时,
af′(x)≤K+f(S)−f(x)<0
因此
f(x)
在区间
[A,s]
上单调递减。
2. 对任意
s<x1<x2
,都有
f(x2)+K≥f(x1)
.
证明:
(1) 若
x2>x1≥S
或
x1<x2≤S
, 在定义1 中令
x−b=S
,
x+a=x2
,
x=x1
,得到:
⇒ ⇒ K+f(x2)−f(x1)−(x2−x1){f(x1)−f(S)x1−S}≥0K+f(x2)−f(x1)≥(x2−x1){f(x1)−f(S)x1−S}K+f(x2)−f(x1)≥0(since f(x1)≥f(S))
(2) 若
x1<S<x2
,在定义1 中令
x+a=S
,
x−b=s
,
x=x1
,得到:
⇒ ⇒ K+f(S)−f(x1)−(S−x1){f(x1)−f(s)x1−s}≥0K+f(S)−f(x1)≥(S−x1){f(x1)−f(S)−Kx1−s}K+f(S)−f(x1)≥0⇒K+f(x2)−f(x1)≥0(since f(x2)≥f(S))
3. 在定义域
[A,B]
上的最优订货策略为
(s,S)
, 即:
g(x)==infy≥x,A≤y≤B[Kδ(y−x)+f(y)]{f(S)+Kf(x)x<sx≥s
需要证明 当
f(x)
为 k 凸函数时,
g(x)
为 k 凸函数。
证明:我们需证明
g(x)
满足定义1. 对任意三个点
x−b
,
x
,
x+a
一共有以下四种情况:
(1) 若
x−b≥s
时,
=K+g(x+a)−g(x)−a{g(x)−g(x−b)b}K+f(x+a)−f(x)−a{g(x)−g(x−b)b}
上式就是
f(x)
K凸函数的定义,显然成立。
(2) 若
x+a<s
时,
==K+g(x+a)−g(x)−a{g(x)−g(x−b)b}K+f(S)+K−f(S)−K−a{f(S)+K−f(S)−Kb}0
上式显然是 K凸函数。
(3) 若
x−b<x<s<x+a
时,
==K+g(x+a)−g(x)−a{g(x)−g(x−b)b}K+f(x+a)−f(S)−K−a{f(S)+K−f(S)−Kb}f(x+a)−f(S)≥0
为 K凸函数。
(4) 若
x−b<s<x
时,
=≥K+g(x+a)−g(x)−a{g(x)−g(x−b)b}K+f(x+a)−f(x)−a{f(x)−f(S)−Kb}K+f(x+a)−f(x)−a{f(x)−f(s)b}
根据性质2,
K+f(x+a)−f(x)≥0
。
若
f(x)≤f(s)
,上式显然大于等于零。
若
f(x)<f(s)
,根据性质 1,可以得出
x>s
,又因为
x−b<s
,即
b>x−s
,上述表达式可以变为:
≥K+f(x+a)−f(x)−a{f(x)−f(s)b}K+f(x+a)−f(x)−a{f(x)−f(s)x−s}
刚好为 K凸函数的定义,因此也大于等于零。
综合以上,在四种情况下,
g(x)
均为 K 凸函数。
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